限时集训(六十九)不等式证明的基本方法(限时：40分钟满分：50分)1．(满分10分)已知关于x的不等式2x≥＋7在x∈(a∞，＋)上恒成立，求实数a的最小值．2．(满分10分)(·沈阳模拟)已知a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.3．(满分10分)(·平湖模拟)已知x、y、z均为正数，求证：≤.4．(满分10分)(·福建高考)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.5．(满分10分)已知数列{xn}中，x1＝1，xn＋1＝1＋(n∈N*，p是正常数)．(1)当p＝2时，用数学归纳法证明xn<(n∈N*)；(2)是否存在正整数M，使得对于任意正整数n；都有xM≥xn.答案[限时集训(六十九)]1．解析：∵2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥.2．证明：法一：∵a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2bc＋2ac)≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥.法二：∵a2＋b2＋c2－＝a2＋b2＋c2－＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0∴a2＋b2＋c2≥.法三：∵(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，即3(a2＋b2＋c2)≥1，∴a2＋b2＋c2≥.3．证明：由柯西不等式得(12＋12＋12)≥2，则×≥≤＋＋，即.4．解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥·2＝9.5．解：由x1＝1，xn＋1＝1＋，p>0知，xn>0(n∈N*)．(1)证明：当p＝2时，xn＋1＝1＋，①当n＝1时，x1＝1<，命题成立．②假设当n＝k时，xk<，则当n＝k＋1时，xk＋1＝1＋＝2－<2－＝，即n＝k＋1时，命题成立．根据①②知，xn<(n∈N*)．(2)用数学归纳法证明，xn＋1>xn(n∈N*)．①当n＝1时，x2＝1＋>1＝x1，命题成立．②假设当n＝k时，xk＋1>xk，因为xk>0，p>0，所以<，则当n＝k＋1时，xk＋1＝1＋＝2－<2－＝xk＋2，即n＝k＋1时，命题成立．根据①②知，xn＋1>xn(n∈N*)．所以综上证明可知{xn}是递增数列，故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有xM≥xn.
