《高中数学研究性学习案例》数学方法论与数学教学（研究）相结合的认识与实践目前，我国的数学方法论研究已经得到了较大的发展，数学方法论已经成为高师院样学生、研究生及中小学教师继续教育的一门重要课程，“MM教育方式”的实验研究也在各地取得了丰硕成果。我们经过多年的数学方法论教学实践，不仅使学生对数学思想方法有了初步的比较系统的认识，而且通过将数学方法论与数学课程的教学有机地结合起来，相互联系，融会渗透，对培养学生的数学能力、提高数学质量也取得了较好的效果。郑毓信教授指出：“就数学方法论而言，只有与具体数学知识的教学密切相结合，并真正渗透于其中，才会成为借题发挥、夸夸其谈、纸上谈兵的空头文章。”阐述了数学方法论与数学研究的实际活动有机结合将对提高数学教学质量的积极作用，强调了保证数学方法论本身的研究沿着正确的方向健康发展的做法。本文介绍自已在数学方法论与数学教学和研究相结合的一些实践探索和体会。一、类比与归纳在数学教学中的实践G．波里亚的数学启发的一个主要内容就是合情推理，类比与归纳即是合情推理的一种方法。运用好这些方法可以启发我们发现解决问题的方法和创造新命题。1．解决问题例1：设ai，bi∈R，I=1，2，…，n，且＞0求证：用心爱心专心（）（）≤（a1b1－a2b2－…－anbn）2（1）其中等号成立当且仅当．分析：所证不等式（1）与柯西不等式（）（）≤（a1b1+a2b2+…+anbn）2在结构上有相似之处，联系到柯西不等式的证明关键是构造函数f（x）=≥0，（x∈R），将解题方法作类比，可考虑构造函数f（x）=(b1x－a1)2－2=()x2－2(a1b1－a2b2－…－anbn)x+（）则不难证明（1）式成立。对问题的结构作类比，进而发现解决问题方法的内在相似性，是运用数学方法解决数字问题的基本途径。将数学方法与解题研究有机地结合起来，通过方法论的研究为解题研究提供高层次的方向导引，使解题研究更具效率；同时通过具体解题研究为数学方法论提供鲜活而丰富的素材，二者相辅相成，相互促进。因此，数学方法与数学教学的有机结合具有重要的作用和意义。用心爱心专心２．创造命题在数学中不仅可以应用类比与归纳去解决问题，而且也可以创造新的问题，作出新的猜想，例如在组合数学与数论的教学中，我们曾讲授一个普通的定理：不定方程x1+x2+…+xr=n的正整数解共有组，在教学中联想到方程与不等式是联系密切且又相似的两类对象，将这两类对象作类比，则作出了一个新的问题：r元不等式x1+x2+…+xr≤n（2）的正整数解有多少组？并很快找到问题的解法与答案（组），具体方法为：引入一个“可伸缩”变量w，作r+1元方程x1+x2+…+xr+w=n+1（3）则易知（2）与（3）的正整数解有一一对应关系，由已知定理便可立即获解。类似这样问题在数学教学中作为启发、引导学生探索、提出新问题的实践素材而应用，使学生在学习数学知识的同时，自觉运用数学方法和创新能力的培养上也得到了锻炼和提高。在组合数学教学中，数学方法论的思想在很多方面都可以大显身手。例如，将简单的二项式定理推广到一般的多项式定理；将容斥原理的简单形式类比推广到抽象的一般形式——拉姆赛（Ramsey）定理；将普通立方体中各维元素的关系及其和推广到超立方体中（和为3n）．在递推方程一章中，用心爱心专心《高中数学研究性学习案例》问题平面上的n条直线最多可将平面分成多少个两两不相交的区域?普通高中课程标准实验教科书B版数学5,必修，P33。从课本中发现、挖掘探究性与研究性问题和素材我们从计算“平面上n条直线最多将平面分成几个区域”这一简单问题出发，运用“低维向高维的类比”及“同向思维”等方法，得到了下面一系列密切相关的命题。用心爱心专心高维类比高维类比圆周上的n个点，最多可将圆周分成n段弧。一条直线上的n个点，可将直线分成n+1段。平面上的n条直线最多可将平面分成(n2+n+2）个区域。平面上n个圆最多可将平面分成n2－n+2个区域球面上的个圆最多可将球面分成n2－n+2个区域空间中n个球面最多可将空间分成n（n2－3n+8）个区域。空间中n个平面最多可将空间分成(n3+5n+6）个区域。同维类比高维类比高维类比同维类比同维类比同维类比二、数学中...
