第三章 Z变换(数字信号处理)VIP免费

第三章序列的Z变换3序列的Z变换3.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为()()nnXzxnz(3.1)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式0()()nnXzxnz(3.2)第三章序列的Z变换使(3.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即()nnxxxnzRzR(3.3)第三章序列的Z变换图3.1Z变换的收敛域第三章序列的Z变换常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：()()()PzXzQz()()jjzeXeXz(3.4)第三章序列的Z变换式中z=ejω表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(3.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例3.1x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|<1，因此收敛域为|z|>1，0()()nnnnXzunzz11()1Xzz|z|>1第三章序列的Z变换由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(3.4)式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数δ(ω)，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。第三章序列的Z变换3.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域。1.有限长序列如序列x(n)满足下式：x(n)n1≤n≤n2x(n)=0其它第三章序列的Z变换即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为21()()nnnnXzxnz设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与∞两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n1<0，则收敛域不包括∞点；如n2>0，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下：第三章序列的Z变换n1<0，n2≤0时，0≤z＜∞n1<0，n2>0时，00时，0|a|。3.左序列左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为2()()nnnXzxnz第三章序列的Z变换当n2≤0当n2>0第二项为有限长序列，在整个Z平面收敛（z=∞点不...