湖北省武汉市江夏一中高三数学导数的应用培优辅导材料二一、教学内容导数的应用二、学习指导本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a到b(a＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨记△x=x2－x1＞0).恒有y1＜y2（记△y=y2－y1＞0）.于是A（x1，y1），B（x2，y2）两点间连线斜率=＞0.从而==＞0.由x1的任意性，知（a，b）内的导函数值均正；反之，若f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨仍记△x=x2－x1＞0).恒有y1＞y2.记△y=y2－y1＜0.则A、B连线斜率=＜0，从而==＜0.所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。而导函数值为O的点xo有可能（但不一定就是）是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能（但不一定就是）f(x)的一个极大（小）值.但到底是不是极值点，还须看导函数在xo的左、右是否异号，如在xo左边＞0，而在xo右边＜0，则f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo左边＜0，而在xo右边＞0，则f(xo)是原函数的一个极小值；如在xo左右符号相同，则f(xo)不是原函数的极值.我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂（对较复杂的函数更是如此）.而判断单调区间的界限，则无明章可循，现在我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。极值和最值是相互有联系的不同概念，总的来说，极值是局部概念，f(xo)如果比xo附近（无论这个“附近”的范围多小，不含xo）的x的函数值f(x)都大（小）.则称f(xo)就是f(x)的一个极大（小）值.且=0，但=0.f(xo)却不一定就是f(x)的极值.最值是整体概念，若f(x)的定义域是R或开区间，则最值如果存在必是极值之一（诸极值中最大或最小者）,当然也有可能不存在.若f(x)的定义域是闭区间，则函数的最值是诸极值和边界函数值中之最。从这个意义上讲，最值不一定是极值，极值也不一定是最值，f(xo)最大（小），未必有=0，故求最值，应先求所有极值及边界处的函数值，再从中挑选最值.三、典型例题3、与函数的单调性、最（极）值有关的问题例1：求证：上是减函数，在上增函数。用心爱心专心117号编辑1证明：，所以当，函数是减函数；当，函数是减函数，故得证。评析：导数方法在应对复杂的初等数学问题具有入手容易，思路清晰和过程简便优势，虽然掌握导数方法需要花费一定的时间和精力，但“磨刀不误砍柴功”。例2．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c当x=－1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，求此极小值及f(x).解:与极值有关，当然先研究导函数，=3x2+2ax+b.3和－1应为其两根∴，第三个待定系数应由f(－1)=7求出，得c=2，∴f(x)=x3－3x2－9x+2，从而求出极小值f(3)=－25.例3．已知f(x)=x2+1.g(x)=f［f(x)］.(x)=g(x)+f(x).问是否存在实数，使(x)在（－∞，－］上单调递减而在［，0］上单调递增？复合函数求单调区间在以前是很棘手的问题，现在我们尝试用导数法解决这类问题解：(x)=f［f(x)］+f(x)=x4+(2+)x2+2+(x)=4x3+2(2+)x令(x)＞0，此时如≥－2解为x＞0,原函数(x)在－∞，0］单调减［0，+∞］单调增，与已知条件矛盾，故知＜－2，此时(x)＞0的解集为(－，0)∪(，+∞)故(x)在－∞，－＝及［0，］单调递减，而在［－，0］及［，+∞单调递增与已知要求比较，知－=－=－3.例4：曲线的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数的值。解：因点（0，1）不在曲线上，所以可设切点是，，，则切线方程是，因为切线过（0，1），（*）构造，由过点（0，1）点的切线有2条，可知有两个实数解，其等价于“有极值，且极大值乘以极小值等于0，a”由所以(1)评析：函数在点处的导数表示曲线在点处切线的斜率，即用心爱心专心117号编辑2，也即导数的几何意义。(2)本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实数根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程有两个不同实根的问题得以转化，三次方程有三个不同实数根等价于“极大值大于0，极小值小于0”。值得注意的是，对于求过某点的曲线的切线问题，应先判断此点是否在曲线上。例5：某汽...
