浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 第3讲等比数列及其前n项和VIP免费

浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解第3讲等比数列及其前n项和1．等比数列的基本概念(1)等比数列的定义等比数列是如何定义的？提示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．定义中的常数叫什么？提示：数列的公比．温馨提示：从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．(2)等比中项什么是等比中项？提示：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G2＝a·b.2．等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*)．3．等比数列的前n项和公式(1)当公比q＝1时，Sn＝na1；(2)当公比q≠1时，Sn＝＝.温馨提示：在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．1．(2014·湖北荆州市质量检测)已知数列{an}是等比数列，a4＝4，a7＝，则公比q＝()A．－B．－2C．2D.解析：选D.设{an}的公比为q.∴a4＝a1q3＝4，a7＝a1q6＝，∴＝q3＝，∴q＝.2．已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{an＋an＋1}，{an＋1－an}，，{nan}这四个数列中，是等比数列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C. {an}是公比q≠±1的等比数列，∴{an＋an＋1}为首项为a1＋a2、公比为q的等比数列，{an＋1－an}是首项为a2－a1、公比为q的等比数列，为首项为＝，公比为1的等比数列，{nan}不是等比数列．3．(2013·高考大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B.(1－310)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)解析：选C.由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10)．4．(2014·杭州调研)在等比数列{an}中，若a5＝5，则a3·a7＝________.答案：255．(2013·高考北京卷)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则：由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.①由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.②由①②解得q＝2，a1＝2.1故Sn＝＝＝2n＋1－2.答案：22n＋1－2等比数列的基本运算(1)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an(2)(2013·高考四川卷改编)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则数列{an}的前n项和Sn为________．[解析](1)法一：在等比数列{an}中，Sn＝＝＝3－2an.法二：在等比数列{an}中，a1＝1，q＝，∴an＝1×()n－1＝()n－1.Sn＝＝3[1－()n]＝3[1－()n－1]＝3－2an.(2)设该数列的公比为q.由已知，得∴解得(q＝1舍去)故首项a1＝1，公比q＝3.∴数列的前n项和Sn＝.[答案](1)D(2)等比数列运算的通法：与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(a1q≠0)及前n项和公式Sn＝中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q时，要注意应用q≠0验证求得的结果．1．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．解：由题设知a1≠0，Sn＝，所以由②式得1－q4＝5(1－q2)，即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.因为q<1，所以q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①式得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，代入①式得a1＝，通项公式an＝×(－2)n－1.综上，an＝等比数列的判定与证明(2014·东北三校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列{an＋(－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式．[解](1)在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)中分别令n＝1,...