备课资讯9三角换元“化”代数在处理许多三角问题时，我们常将三角问题代数化，以求化繁为简，化难为易；相反，在处理某些代数问题时，我们也可作适当的三角变换，将代数问题转化为三角问题，同样可收到令人满意的效果．现在举例说明如何使代数问题三角化．一、求无理函数值域求无理函数的值域，常见解法有两种：一是对等式两端平方，这可能扩大值域；二是利用代数换元，转化为二次曲线问题，这种解法又不易掌握，但恰当地进行三角代换，则方法简单．【例1】求函数y＝2x＋1＋6－x的值域．解析此函数的定义域为[－1,6]．因为(x＋1)2＋(6－x)2＝7，所以设x＋1＝7sinθ，6－x＝7cosθ，θ∈[0，π2]，则y＝27sinθ＋7cosθ＝35sin(θ＋φ)，其中tanφ＝12.再由φ≤θ＋φ≤π2＋φ，知sin(θ＋φ)的取值范围为[55，1]．∴函数y的值域是[7，35]．【例2】求函数y＝x－2＋4－x2的值域．解析函数的定义域为[－2,2]．因为x2＋(4－x2)2＝4，所以可设x＝2sinθ4－x2＝2cosθ，θ∈[－π2，π2]，则y＝2sinθ＋2cosθ－2＝22sin(θ＋π4)－2.由－π4≤θ＋π4≤3π4可知－4≤y≤22－2.即函数的值域为[－4,22－2]．二、解无理不等式和方程在解有关无理不等式和方程时，如果我们直接将无理式有理化后求解，则必须平方，这样势必要对其进行讨论，过程较繁．若我们能对题目的特点进行分析，借助于三角代换，则可使问题化难为易，简捷获解．【例3】解不等式x1＋x2＋1－x21＋x2>0.解析设tanα＝x(－π2<α<π2)， x1＋x2＝tanα1＋tan2α＝sinα，1－x21＋x2＝1－tan2α1＋tan2α＝cos2α，∴原不等式化为sinα＋cos2α>0，即(2sinα＋1)(sinα－1)<0. sinα－1<0，∴2sinα＋1>0，即sinα>－12，得－π6<α<π2.又tanα>tan(－π6)＝－33，∴原不等式的解集为x|x>－33.【例4】在实数集上解无理方程：1－2x22x1－x2＝1－x2－x1－x2＋x.解析设x＝sinα(－π2<α<π2)，原方程变为1－2sin2α2sinαcosα＝cosα－sinαcosα＋sinα.即cos2αsin2α＝2cos(α＋π4)2sin(α＋π4)，tan2α＝tan(α＋π4)．∴2α＝kπ＋α＋π4，α＝kπ＋π4(k∈Z)．又－π2<α<π2，取k＝0，得α＝π4.∴x＝sinπ4＝22.经检验知x＝22是原方程的解．三、证明不等式对于给定条件的不等式证明问题，如果我们能认真分析给定条件中隐含的三角函数关系，将代数不等式三角函数化，这样可使问题来得简捷合理．【例5】若x，y，z∈R＋，z2＝x2＋y2，求证xn＋ynz，n∈N)．分析 z2＝x2＋y2可化为xz2＋yz2＝1，从而可以借助三角函数的平方关系换元．证明设x＝zcosα，y＝zsinα(0<α<π2)，则xn＋yn＝zn(sinnα＋cosnα)．又0
