2.3--函数的奇偶性VIP免费

要点梳理1.函数的奇偶性§2.3函数的奇偶性基础知识自主学习奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)是偶函数关于___对称f(-x)=f(x)y轴奇偶函数的定义域有何特点？由于定义中对任意一个x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中,即说明奇偶函数的定义域关于原点对称.奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有___________,那么函数f(x)是奇函数关于____对称f(-x)=-f(x)原点提示思考2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性____,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性____(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是______,两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是______；③一个奇函数，一个偶函数的积是_______.奇函数偶函数奇函数相同相反基础自测1.对任意实数x,下列函数中是奇函数的是____.①y=2x-3;②y=-3x2;③y=ln5x;④y=-|x|cosx.解析①非奇非偶,②④为偶函数,③为奇函数,y=f(-x)=-xln5=-f(x).③2.已知是奇函数，则实数a的值等于______.解析 函数f(x)的定义域为R,∴f(0)=0,∴2a-2=0,即a=1.3.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a=____.解析 f(x)=(x+1)(x+a)=x2+(a+1)x+a,又f(-x)=f(x),∴a+1=0,∴a=-1.12212xxaxf)()(1-14.已知函数,若f(a)=b,则f(-a)=____.解析方法一要使函数有意义,需>0,得-11,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,f(-x)=-x+2=f(x).-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,f(-x)=0=f(x).∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函数..||,0220122xx),()lg()(])(lg[)(.)lg()()lg()(xfxxxxxfxxxxxf22222222111221【例2】已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如果x∈R+,f(x)<0,并且f(1)=,试求f(x)在区间［-2,6］上的最值.(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证f(x)+f(-x)=0;(2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇偶性的应用.21分析(1)证明 函数定义域为R,其定义域关于原点对称. f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（2）解方法一设x,y∈R+， f(x+y)=f(x)+f(y)，∴f(x+y)-f(x)=f(y). x∈R+，f(y)<0,∴f(x+y)-f(x)<0,∴f(x+y)x,∴f(x)在（0，+∞）上...