24.1圆的有关性质第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角【学习目标】1．能识别圆心角．2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．【学习重点】探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．【学习难点】圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？情境引入所以圆是中心对称图形所以圆是中心对称图形.OAB180°观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？圆心角的定义2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？Oα圆是旋转对称图形，具有旋转不变性圆是旋转对称图形，具有旋转不变性··OBA·OBA观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？顶点在圆心上ABOOABM1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧2.圆心角∠AOB所对的弧为AB.⌒弦概念学习判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.①②③④圆内角圆外角圆周角（后面会学到）圆心角在同圆中探究在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？⌒⌒C·OABD圆心角、弧、弦之间的关系由圆的旋转不变性，我们发现：在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，，弦AB=弦CD»»ABCD·OAB如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？·O′CD在等圆中探究通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.⌒⌒在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．①∠AOB=∠COD②AB=CD⌒⌒③AB=CDABODC弧、弦与圆心角的关系定理要点归纳想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不可以，如图.ABODC如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等在同圆或等圆中题设结论在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．弧、弦与圆心角关系定理的推论在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．要点归纳关系结构图××√抢答题1.等弦所对的弧相等.（）2.等弧所对的弦相等.（）3.圆心角相等，所对的弦相等.(）4.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，∠AOE=．·AOBCDE75°=35BOCCODDOE，75.解： 例1如图，AB是⊙O的直径，∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE关系定理及推论的运用»»»==BCCDDE，»»»==BCCDDE，典例精析证明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形.又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.例2如图，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,求证：∠AOB=BOC=AOC.∠∠·ABCO⌒⌒温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键. AB=CD，⌒⌒如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，____________．（2）如果，那么____________，_____________．（3）如果∠AOB=COD∠，那么_____________，_________．·CABDEFOAB=CDAB=CDAB=CD((∠AOB=∠COD∠AOB=∠CODAB=CD((AB=CD((填一填（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFO,,11,.22.,RtRt..OEABOFCDAEABCFCDABCDAECFOAOCAOECOFOEOF又＝,＝又＝≌解：OE=OF.理由如下：1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对D当堂练习60°3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（）⌒⌒AA.AB=2CD⌒⌒B.AB>CD⌒⌒C.AB
