平面向量的数量积 (2)VIP免费

4．3平面向量的数量积考点梳理1.平面向量的数量积的定义(1)已知两个___________a、b，过O点作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的_______.很显然，当且仅当两非零向量a、b同方向时，θ＝_______，当且仅当a、b反方向时，θ＝_______，特别地，0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题．非零向量夹角0°180°(2)如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作____________.(3)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积．记作a·b，即a·b＝____________________.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时__________＝0.(4)a·b的几何意义a·b等于a的长度与b在a的方向上的_________________.a⊥b|a|·|b|·cosθa·b投影的乘积2．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝_______.(2)a⊥b⇒___________且a·b＝0⇒_______.(3)a·a＝_______，|a|＝_______.(4)cos〈a，b〉＝___________.(5)|a·b|_______|a||b|.3．数量积的运算律(1)交换律a·b＝___________.(2)分析律(a＋b)·c＝_____________.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝___________＝___________.|a|cos〈a，e〉a·b＝0a⊥b|a|2a·aa·b|a|·|b|≤b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)4．数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则(1)a·b＝____________.(2)a⊥b⇔____________.(3)|a|＝____________.(4)cos〈a，b〉＝______________.a1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝0a21＋a22a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22考点自测1.已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．1B．2C．3D．4解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)．由a＋b与a共线，得1×(k＋2)－3×k＝0，由此解得k＝1，a·b＝2＋2k＝4，选D.答案：D2．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3解析：由题意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30⇒x＝4.答案：C3．(2014·上海质检)若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是()A．a·b＝1B．|a|＝|b|C．(a－b)⊥bD．a∥b解析：a·b＝2，选项A错误；|a|＝2，|b|＝2，选项B错误；(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，选项C正确，故选C.答案：C4．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案：D5．已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，则|b|＝__________；b在a方向上的投影等于__________．解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|cos45°＝22|b|，又12a＋b·(2a－3b)＝|a|2＋12a·b－3|b|2＝16＋2|b|－3|b|2＝12，解得|b|＝2或|b|＝－232(舍去)．b在a上的投影为|b|cos〈a，b〉＝2cos45°＝1.答案：21疑点清源1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.题型探究题型一平面向量数量积的运算例1.已知向量a＝cos32x，sin32x，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．解析：(1)a·b＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos2x，a＋b＝cos3x2＋cosx2，sin32x－sinx2|a＋b|＝cos32x＋cosx22＋sin32x－sinx22＝2＋2cos2x＝2|cosx|， x∈－π3，π4，∴cosx＞0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)由(1)可得f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2cosx－122－32. x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，f(x)取得最小值为－32；当cosx＝1时，f(x)取得最大值为－1.点评：①与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标...