第2讲不等式与线性规划1.(2016·课标全国丙)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.答案解析满足约束条件的可行域为以A(-2,-1),B(0,1),C为顶点的三角形内部及边界,如图,过C时取得最大值.2.(2016·浙江改编)已知实数a,b,c,下列判断正确的是________.①若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100;②若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100;③若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100;④若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100.答案④解析①中,设a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=0≤1,a2+b2+c2>100.②中,设a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0≤1,a2+b2+c2>100.③中,设a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0≤1,a2+b2+c2>100.∴④对.3.(2016·上海)设x∈R,则不等式|x-3|<1的解集为________.答案(2,4)解析-10,b>0,若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围是________.答案(2,+∞)解析由已知得,ab=1,且a≠b,∴a+b>2=2.1.利用不等式性质比较大小,利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点;2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围;3.利用不等式解决实际问题.热点一不等式的解法1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.2.简单分式不等式的解法(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0);(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式,可利用函数的单调性求解.例1(1)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)0,则x0的取值范围是________________.答案(1)9(2)(-∞,0]∪(1,+∞)解析(1)由值域为[0,+∞),可知当x2+ax+b=0时有Δ=a2-4b=0,即b=,∴f(x)=x2+ax+b=x2+ax+=2.∴f(x)=20,得x0≤0;当x0>0时,由log2x0>0,得x0>1,所以x0的取值范围是(-∞,0]∪(1,+∞).思维升华(1)对于和函数有关的不等式,可先利用函数的单调性进行转化;(2)求解一元二次不等式的步骤:第一步,二次项系数化为正数;第二步,解对应的一元二次方程;第三步,若有两个不相等的实根,则利用“大于在两边,小于夹中间”得不等式的解集;(3)含参数的不等式的求解,要对参数进行分类讨论.跟踪演练1(1)已知m,n为实数,若关于x的不等式x2+mx+n<0的解集为(-1,3),则m+n的值为________.(2)不等式<4的解集为________.答案(1)-5(2)(-1,2)解析(1)由题意得:-1,3为方程x2+mx+n=0的两根,因此-1+3=-m,-1×3=n⇒m=-2,n=-3,m+n=-5.(2) <4=22,∴x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-10,y>0,xy=p(定值),当x=y时,x+y有最小值2(简记为:积定,和有最小值);(2)如果x>0,y>0,x+y=s(定值),当x=y时,xy有最大值s2(简记为:和定,积有最大值).例2(1)已知ab=,a,b∈(0,1),则+的最小值为________.(2)设实数m,n满足m>0,n<0,且+=1,则4m+n有最________值,为________.答案(1)4+(2)大1解析(1)+=+=2+(+)=2+(+)=2+2+(+)≥4+×2=4+,当且仅当=时取等号.(2)因为+=1,所以4m+n=(4m+n)=5++,又m>0,n<0,所以--≥4,当且仅当n=-2m时取等号,故5++≤5-4=1,当且仅当m=,n=-1时取等号.思维升华在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现...