课时作业26平面向量的应用举例一、选择题1．(2014·益阳模拟)在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB等于()A．2B．3C．4D．6解析：由题意可知，CM·CB＝·CB＝CA·CB＋AB·CB＝0＋×3×3cos45°＝3.答案：B2．(2014·西宁模拟)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于()A．3B．－3C.D．－解析：由a∥b得cosα＝－2sinα，所以tanα＝－.所以2sinαcosα＝＝＝－.答案：D3．(2014·邵阳模拟)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()A．1B．－1C.D.解析：由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.答案：A4．(2014·南昌模拟)若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是()A.B.C．2D.解析：a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝.答案：B5．(2014·哈尔滨模拟)函数y＝tan的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝()1A．4B．6C．1D．2解析：由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝OB2－OA2＝10－4＝6.答案：B6．(2014·安庆二模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4aBC＋2bCA＋3cAB＝0，则cosB＝()A．－B.C.D．－解析：由4aBC＋2bCA＋3cAB＝0，得4aBC＋3cAB＝－2bCA＝－2b(BA－BC)＝2bAB＋2bBC，所以4a＝3c＝2b.由余弦定理得cosB＝＝＝－.答案：A二、填空题7．(2014·海口模拟)若向量a＝，b＝，且a∥b，则锐角α的大小是________．解析：因为a∥b，所以×－sinαcosα＝0，所以sin2α＝1，又α为锐角，故α＝.答案：8．(2014·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则BA·AC＝__________.解析：依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB＞0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，BA·AC＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案：－19．(2014·北京模拟)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0，则点P到点C的距离的最大值是__________．解析：设P(x，y)，则Q(8，y)，由·＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1，所以点P的轨迹是焦点在x轴的椭圆，且a＝4，b＝2，c＝2，点C是其右焦点．故|PC|max＝a＋c＝4＋2＝6.答案：6三、解答题10．(2014·重庆模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，且m⊥n.(1)求角C的大小．(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．解析：(1)由题意得m·n＝(a＋c，b－a)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2－ab＝0，即c2＝a2＋b2－ab.由余弦定理得cosC＝＝.因为0＜C＜π，所以C＝.(2)因为s＋t＝＝(cosA，cosB)，2所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2＝－sin＋1.因为0＜A＜，所以－＜2A－＜，所以－＜sin≤1.所以≤|s＋t|2＜，故≤|s＋t|＜.11．(2014·合肥模拟)如图，A，B是单位圆上的动点，C是单位圆与x轴的正半轴的交点，且∠AOB＝，记∠COA＝θ，θ∈(0，π)，△AOC的面积为S.(1)若f(θ)＝OB·OC＋2S，试求f(θ)的最大值以及此时θ的值．(2)当A点坐标为时，求|BC|2的值．解析：(1)S＝sinθ，OB＝，OC＝(1,0)．则f(θ)＝OB·OC＋2S＝cos＋sinθ＝sin，因为θ∈(0，π)，故θ＝时，f(θ)max＝1.(2)依题cosθ＝－，sinθ＝，在△BOC中，∠BOC＝θ＋.由余弦定理得：|BC|2＝1＋1－2×1×1×cos＝2－cosθ＋sinθ＝.12．(2014·吉林模拟)已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，|AM|·|BM|cos2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点．(1)求|AM|＋|BM|的值，并写出曲线C的方程；(2)设直线PQ的倾斜角是，试求△APQ的面积．解析：(1)设M(x，y)，在△MAB中，|AB|＝2，∠AMB＝2θ，根据余弦定理得|AM|2＋|BM|2－2|AM|·|BM|cos2θ＝4.即(|AM|＋|BM|)2－2|AM|·|BM|(1＋cos2θ)＝4.(|AM|＋|BM|)2－4|AM|·|BM|cos2θ＝4.而|AM|·|BM|cos2θ＝3，所以(|AM|＋|BM|)2－4×3＝4.所以|AM|＋|BM|＝4.又|AM|＋|BM|＝4＞2＝|AB|，因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a＝2，c＝1.所以曲线C的方程为＋＝1.3(2)由题意得直线PQ的方程为：y＝x－1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得7x2－8x－8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，y1＋y2＝x1＋x2－2＝－，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－，因为A(－1,0)，B(1,0)，所以|AB|＝2.所以S△APQ＝S△ABP＋S△ABQ＝|AB||y1|＋|AB||y2|＝|y1－y2|＝＝＝.即△APQ的面积是.4
