三角函数的诱导公式分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π+α)等于(D)A.B.±C.D.-2.已知f(sinx)=cos3x,则f(cos10°)的值为(A)A.-B.C.-D.3.若sin(3π+α)=-,则cos等于(A)A.-B.C.D.-4.已知sin=,则cos的值等于(A)A.-B.C.-D.5.已知tan5°=t,则tan(-365°)=(C)A.tB.360°+tC.-tD.与t无关6.若tan(5π+α)=m,则的值为(A)A.B.C.-1D.17.记cos(-80°)=k,那么tan100°等于(B)A.B.-C.D.-8.已知cos=,则cos=-.9.若cosα=,且α是第四象限角,则cos=.10.计算sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°=.11.已知sin(π+α)=-.计算:(1)cos.(2)sin.(3)tan(5π-α).【解析】(1)因为sin(π+α)=-sinα=-,所以sinα=.cos=cos=-sinα=-.(2)sin=cosα,cos2α=1-sin2α=1-=.因为sinα=,所以α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时,sin=cosα=.②当α为第二象限角时,sin=cosα=-.(3)tan(5π-α)=tan(π-α)=-tanα,因为sinα=,所以α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时,cosα=,所以tanα=,所以tan(5π-α)=-tanα=-.②当α为第二象限角时,cosα=-,tanα=-,所以tan(5π-α)=-tanα=.12.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tanβ=0.【证明】因为sin(α+β)=1,所以α+β=2kπ+(k∈Z),所以α=2kπ+-β(k∈Z).故tan(2α+β)+tanβ=tan+tanβ=tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ=tan(4kπ+π-β)+tanβ=tan(π-β)+tanβ=-tanβ+tanβ=0,所以原式成立.B组提升练(建议用时20分钟)13.若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(π+α)的值为(B)A.B.-C.±D.以上都不对14.已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是(D)A.B.C.-D.-15.已知tan(3π+α)=2,则=2.16.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中a,b,α,β为非零常数.若f(2013)=1,则f(2014)=3.17.若cos(α-π)=-,求的值.【解析】原式====-tanα.因为cos(α-π)=cos(π-α)=-cosα=-,所以cosα=.所以α为第一象限角或第四象限角.当α为第一象限角时,cosα=,sinα==,所以tanα==,所以原式=-.当α为第四象限角时,cosα=,sinα=-=-,所以tanα==-,所以原式=.综上,原式=±.18.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2对应三个内角的正弦值,那么(1)试判断△A1B1C1是锐角三角形吗?(2)试借助诱导公式证明△A2B2C2中必有一个角为钝角.【解析】(1)由已知条件△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,即cosA1>0,cosB1>0,cosC1>0,从而△A1B1C1一定是锐角三角形.(2)由题意可知若A2,B2,C2全为锐角,则A2+B2+C2=++=-(A1+B1+C1)=,不合题意.又A2,B2,C2不可能为直角,且满足A2+B2+C2=π,故必有一个角为钝角.C组培优练(建议用时15分钟)19.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.【解析】由条件得sinA=sinB,cosA=cosB,平方相加得2cos2A=1,cosA=±,又因为A∈(0,π),所以A=或π.当A=π时,cosB=-<0,所以B∈,所以A,B均为钝角,不合题意,舍去.所以A=,cosB=,所以B=,所以C=π.20.是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.【解析】由条件,得由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2,③又因为sin2α+cos2α=1,④由③④得sin2α=,即sinα=±,因为α∈,所以α=或α=-.当α=时,代入②得cosβ=,又β∈(0,π),所以β=,代入①可知符合.当α=-时,代入②得cosβ=,又β∈(0,π),所以β=,代入①可知不符合.综上所述,存在α=,β=满足条件.
