高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数达标训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

1.2任意角的三角函数更上一层楼基础•巩固1.已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边()A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x或y=-x上答案：D2.若sinθcosθ＞0，则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限思路分析：由sinθcosθ＞0，可知若sinθ＞0且cosθ＞0，则θ角的终边位于第一象限；若sinθ＜0且cosθ＜0，则θ角的终边位于第三象限.综上可知θ角的终边位于第一或第三象限.答案：B3.设a=sin(-1)，b=cos(-1)，c=tan(-1)，则有()A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.c＜a＜bD.a＜c＜b思路分析：作出角α=-1rad的正弦线、余弦线及正切线，显然b=cos(-1)=OM＞0，c=tan(-1)＜a=sin(-1)＜0，即c＜a＜b.答案：C4.若α为第一象限角，那么sin2α,cos2α,sin,cos中必定为正值的有()A.0个B.1个C.2个D.3个思路分析：∵2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z,∴4kπ＜2α＜4kπ+π,kπ＜＜kπ+,k∈Z.∴2α的终边位于一、二象限或y轴的正半轴上，的终边位于一、三象限，显然只有sin2α＞0成立.答案：B5.若角α的终边过点P(3cosθ，-4cosθ)(θ为第二象限角)，则sinα=________.思路分析：因为x=3cosθ，y=-4cosθ，所以(θ为第二象限角)，.答案：6.若tanθ=-2，则sin2θ-sinθcosθ+2=__________.思路分析:因为tanθ==-2，所以y=-2x，r2=x2+y2=5x2.sin2θ-sinθcosθ+2=.答案：综合•应用7.求值:x2sin(-1350°)+y2tan405°-(x-y)2cot765°-2xycos(-1080°).解：原式=x2sin(90°-4×360°)+y2tan(45°+360°)-(x-y)2cot(45°+2×360°)-2xycos(0°-3×360°)=x2sin90°+y2tan45°-(x-y)2cot45°-2xycos0°=x2+y2-(x-y)2-2xy=0.8.利用单位圆证明:若α∈(0，)，则有sinα＜α＜tanα.证明:如图，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆与x轴的正半轴的交点为A，过A点作圆的切线交OP的延长线于点T，连结AP，则sinα=MP，tanα=AT.在△AOP中，=α·OP=α.由图易得S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，即OA·MP＜·OA＜OA·AT.所以MP＜＜AT，即sinα＜α＜tanα.9.已知点P的坐标x、y满足①②你能确定点P的轨迹方程吗？思路分析：要求点P的轨迹方程，就是要确定x、y之间的函数关系式，只要将已知方程中的参数θ消去，根据同角三角函数的基本关系式可得结论.解：由①x2=9sin2θ，∴sin2θ=.③由②y2=9cos2θ，∴cos2θ=.④将③④代入sin2θ+cos2θ=1中可得.∴x、y满足x2+y2=9.∴点P的轨迹方程为x2+y2=9.回顾•展望10.(经典回放)已知长方形的四个顶点A(0，0)、B(2，0)、C(2，1)、D(0，1)，一质点从AB的中点P0，沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0)，若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是()A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,)思路分析：如图，根据反射定律，可知∠P1P0B=∠P1P2C=∠P3P2D=∠P3P4A=θ,可将AP4表示为关于tanθ的函数，然后利用条件1＜AP4＜2求解.由反射定律：入射角等于反射角(λ1=λ2)，有∠P1P0B=∠P1P2C，从而∠P1P2C=θ.同理,∠P3P2D=∠P3P4A=θ.因为P0B=1,=tanθ,所以BP1=tanθ.所以P1C=1-tanθ.因为=tanθ,所以.所以DP2=.因为=tanθ,P3D=3tanθ-1,所以AP3=1-(3tanθ-1)=2-3tanθ.因为=tanθ，所以AP4=.所以x4=.因为1＜x4＜2，所以，.所以.答案：C11.证明sin20°＜.思路分析：本题初看之下，觉得无从下手，但如果借助单位圆，利用面积公式，便可得如下简捷证法.证明：如图所示单位圆中，S△AOB=×1×sin20°=sin20°，S扇形AOB=.∵S△AOB＜S扇形AOB，∴sin20°＜.∴sin20°＜.