函数的单调性与周期性知识精讲一.本周教学内容:函数的单调性与周期性【基本知识】1.函数的奇偶性1°有关定义,设函数y=f(x),x∈D对任意的x∈D,有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数。设函数y=f(x),x∈D对任意的x∈D,有f(-x)=-f(x),则y=f(x)是奇函数。由定义得:(1)函数的定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件,所以判断函数奇偶性应首先判断函数定义域是否关于原点对称,如f(x)=x2,x∈(-1,1]为非奇非偶函数。(2)函数按奇偶性分类:奇函数但非偶函数,偶函数但非奇函数,非奇非偶函数,既是奇函数又是偶函数(其表达式必为f(x)=0)(3)奇偶函数的定义域未必包括原点,若y=f(x)是奇函数且f(0)有意义,则f(0)=0。2°图象特征:若y=f(x)是奇函数,则y=f(x)的图象关于原点对称,反之亦然。若y=f(x)是偶函数,则y=f(x)的图象关于y轴对称。3°关于奇偶性的应用(1)利用函数奇偶性求有关函数值。(2)利用奇偶性求有关函数解析式。(3)利用奇偶性研究函数的其他性质。(4)奇偶性的推广(对称性)推广:I若对任意的x∈D(D为f(x)的定义域),都有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称,证:设(x0,y0)为y=f(x)的图象上一点,(x0,y0)关于直线x=a,对称点为(2a-x0,y0),faxfaaxfaaxfxyaxy()()[()]())220000000,,在y=f(x)的图象上,所以f(x)图象关于x=a对称。II若对任意的x∈D都有f(2a-x)=f(x),则f(x)的图象关于x=a对称。III若对任意的,都有,则的图象关于对称。xDfaxfbxyfxxab()()()2IV若对任意的x∈D,都有f(a+x)=f(a-x)如果f(x)=0有2n个根,则其和为2na如果f(x)=0有2n+1个根,则其和为(2n+1)a且必有一根为a2.函数的周期性1°有关概念设函数y=f(x),x∈D若存在非零常数T,使得对任何x∈D都有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数。由定义可知:1°周期不唯一,若T为y=f(x)的周期,则kT(k≠0),也为y=f(x)的周期。2°若函数存在最小正周期,则通常我们求周期时,只求最小正周期。3°求周期一般是用分析观察法,定义法(即满足f(x+T)=f(x),求T),公式(如y=sinx的周期T2)推广:(1)若对任意的x∈D,都有f(x+a)=f(x-b),则f(x)是周期函数且T=2a。(2)对任意的x∈D,若f(x+a)=f(x-a)(a≠0),则f(x)是周期函数且T=2a,证:f(x+用心爱心专心115号编辑12a)=f(x+a+a)=f(x+a-a)=f(x)得证。(3)对任意的x∈D,若f(x+a)=-f(x-b),则f(x)是周期函数且T=2a+2b。(4)若f(x+a)=-f(x-a)对任意x∈D成立,则f(x)为周期函数,且周期T=4a。()()()()()5114若对任意都成立,则为周期函数,且fxafxfxxDfxTa证:fxafxaafxafxafxfxfxfxfx()()()()()()()()()2111111111fxafxaafxafx()()()()42212,得证。二.重点、难点:重点:奇偶性和周期性的定义及运用。难点:函数奇偶性和周期性性质的推广和综合运用。【例题分析】例1.下面函数中,与函数yxxlg11有相同的奇偶性的是()AyxxByCyxxxDyxx.||||..().11213111121120分析:此题需用定义分别判别每个函数的奇偶性。解:设yfxxx()lg11则f(x)的定义域为x∈(-1,1),并且对于定义域内的任意x。fxxxxxxxfx()lglg()lg()1111111故f(x)是奇函数,而不是偶函数。对于,是偶函数而不是奇函数;Ayxx||||11对于,既是奇函数又是偶函数;ByxRx21300()对于,的定义域是,Cyxxx()(]11111不关于原点对称,它既不是奇函数又不是偶函数。对于,有Dfxxxx()1211221212用心爱心专心115号编辑222112211211212112xxxxxfx()()fxD()是奇函数而非偶函数,故选。小结:判断函数奇偶必须先判定其定义域是否关于原点对称,另此题中的fxxxfxx()lg()1112112,为典型的判别奇偶性试题,希掌握其证明过程。例2.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时f(x)=x,则f(7.5)等于()A...