中档大题分类练(四)立体几何(建议用时：60分钟)1．(2018·沈阳质检三)如图48，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，△ABC和△ABB1都是边长为2的正三角形．图48(1)过B1作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB，并证明；(2)求AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解](1)设AB中点为O，连接OC，OB1，B1C，则截面OB1C为所求，OC，OB1分别为△ABC，△ABB1的中线，所以AB⊥OC，AB⊥OB1，又OC，OB1为平面OB1C内的两条相交直线，所以AB⊥平面OB1C，(2)以O为原点，OB方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得B(1,0,0)，A(－1,0,0)，C(0，，0)，B1(0,0，)，C1(－1，，)，CB＝(1，－，0)，B1B＝(1,0，－)，AC1＝(0，，)，设平面BCC1B1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由⇔解得平面BCC1B1的一个法向量为n＝(，1,1)，又|cos〈AC1，n〉|＝＝＝，所以AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.【教师备选】如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，∠CBD＝60°，BD＝2BC＝4，点E在CD上，DE＝2EC.(1)求证：AC⊥BE；(2)若二面角EBAD的余弦值为，求三棱锥ABCD的体积．[解](1)证明：取BD的中点O，连接AO，CO，EO.因为AB＝AD，BO＝OD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD.又BE⊂平面BCD，所以AO⊥BE.在△BCD中，BD＝2BC，DE＝2EC，所以＝＝2，由角平分线定理，得∠CBE＝∠DBE.又BC＝BO＝2，所以BE⊥CO，又因为AO∩CO＝O，AO⊂平面ACO，CO⊂平面ACO，所以BE⊥平面ACO，又AC⊂平面ACO，所以AC⊥BE.(2)在△BCD中，BD＝2BC＝4，∠CBD＝60°，由余弦定理，得CD＝2，所以BC2＋CD2＝BD2，即∠BCD＝90°，所以∠EBD＝∠EDB＝30°，BE＝DE，所以EO⊥BD，结合(1)知，OE，OD，OA两两垂直，以O为原点，分别以OE，OD，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，设AO＝t(t>0)，则A(0,0，t)，B(0，－2,0)，E，所以BA＝(0,2，t)，BE＝，设n＝(x，y，z)是平面ABE的一个法向量，则即整理，得令y＝－1，得n＝.因为OE⊥平面ABD，所以m＝(1,0,0)是平面ABD的一个法向量．又因为二面角EBAD的余弦值为，所以|cos〈m，n〉|＝＝，解得t＝2或t＝－2(舍去)．又AO⊥平面BCD，所以AO是三棱锥ABCD的高，故VABCD＝·AO·S△BCD＝×2××2×2＝.2.在如图49所示的六面体中，平面ABCD是边长为2的正方形，平面ABEF是直角梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，BE＝2AF＝4.图49(1)求证：AC∥平面DEF；(2)若二面角EABD为60°，求直线CE和平面DEF所成角的正弦值．[解](1)证明：连接BD交AC于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG. 平面ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∴OG∥BE，OG＝BE，又 AF∥BE，AF＝BE，∴OG∥AF且OG＝AF，∴四边形AOGF是平行四边形，∴AC∥FG.又 FG⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.(2) 四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是直角梯形，∠FAB＝90°，∴DA⊥AB，FA⊥AB. AD∩AF＝A，∴AB⊥平面AFD，同理可得AB⊥平面EBC.又 AB⊂平面ABCD，∴平面AFD⊥平面ABCD，又 二面角EABD为60°，∴∠FAD＝∠EBC＝60°，BE＝2AF＝4，BC＝2，由余弦定理得EC＝2，∴EC⊥BC.又 AB⊥平面EBC，∴EC⊥AB， AB∩BC＝B，∴EC⊥平面ABCD.以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CE为z轴建立如图所示空间直角坐标系．则C(0,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,2)，F(1,2，)，∴CE＝(0,0,2)，DF＝(1,0，)，EF＝(1,2，－)，设平面DEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，则∴n＝(－3,3，)．设直线CE和平面DEF所成角为θ，则sinθ＝|cos〈CE，n〉|＝＝.3．(2018·安庆市高三二模)如图50，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．图50(1)求证：平面ACD⊥平面BCD；(2)当＝2时，求二面角DACB的余弦值．[解](1)设点D在平面ABC上的射影为点E，连接DE，则DE⊥平面ABC，所以DE⊥BC.因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AD.又AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BCD.(2)以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设|AD|＝a，则|AB|＝2a，所以A(0，...
