专题二三角函数与平面向量1．△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3.(1)求角A；(2)若AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积．2．已知m＝，n＝，设函数f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b.c，且a，b，c成等比数列，求f(B)的取值范围．3．如图Z21，△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知∠B＝60°，2b＝c，D是边BC的中点且AD＝.(1)求sinA的值；(2)求△ABC的面积．图Z214．(2017年天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝.(1)求b和sinA的值；(2)求sin的值．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，求b＋c的最大值．6．已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m＝，n＝，m⊥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acosB＝(2c－b)cosA.(1)求角A的大小；(2)求△ABC周长的最大值．8．(2019年新课标Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．专题二三角函数与平面向量1．解：(1)由正弦定理得，2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，可化为bsinB－asinA＝bsinC－csinC，即b2－a2＝bc－c2，∴cosA＝＝. 0＜A＜π，∴A＝60°.(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝.在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos120°.即19＝9＋AC2－2×3×AC×，解得AC＝2.故S△ABC＝bcsinA＝.2．解：(1)f(x)＝sin＋，令2kπ－≤＋≤2kπ＋，k∈Z，则4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由b2＝ac，可知cosB＝＝≥(当且仅当a＝c时取等号)，∴0
b，故由sinB＝，可得cosB＝.由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB＝13，∴b＝.由正弦定理＝，得sinA＝＝.∴b的值为，sinA的值为.(2)由(1)及a0，∴tan＝1，∴＝，∴A＝.(2)由(1)题知A＝，又a＝，∴由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC，故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sin＝3sinB－cosB＝2sin. b≥a，∴≤B<，≤B－<，∴2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2)．7．解：(1)方法一，由已知，得acosB＋bcosA＝2ccosA.由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，即sin(A＋B)＝2sinCcosA. sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，∴sinC＝2sinCcosA. sinC≠0，∴cosA＝. 0＜A＜π，∴A＝.方法二，由已知根据余弦定理，得a×＝(2c－b)×.即b2＋c2－a2＝bc.∴cosA＝＝. 0＜A＜π，∴A＝.(2)方法一，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得bc＋4＝b2＋c2，即(b＋c)2＝3bc＋4， bc≤2，∴(b＋c)2≤(b＋c)2＋4.即b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时等号成立)．∴a＋b＋c≤6.故△ABC周长的最大值为6.方法二， ＝...
