专题能力训练25解答题专项训练(数列)1.已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求数列的前n项和Tn.2.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(1)求a2,a3;(2)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:{bn}是等比数列,并求其通项公式;(3)在(2)的条件下,求数列{an}前100项中的所有偶数项的和S.3.各项为正数的数列{an}满足=4Sn-2an-1(n∈N*),其中Sn为{an}的前n项和.(1)求a1,a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)是否存在正整数m,n,使得向量a=(2an+2,m)与向量b=(-an+5,3+an)垂直?说明理由.4.(2014四川“联测促改”(一))学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这个星期一选A菜的,下个星期一会有改选B菜;而选B菜的,下个星期一会有改选A菜.用an,bn分别表示第n个星期选A的人数和选B的人数.(1)试用an-1(n∈N*,n≥2)表示an,判断数列{an-300}是否成等比数列并说明理由;(2)若第一个星期一选A菜的有200人,那么第十个星期一选A菜的大约有多少人?5.已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3n·bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.(1)求an,bn;(2)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn,并求满足Tn<7时n的最大值.6.已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数a1,a2,a4,a7,…构成等差数列{bn},Sn是{bn}的前n项和,且b1=a1=1,S5=15.(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知a9=16,求a50的值;(2)设Tn=+…+,求Tn.7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=2S2+4,a5=36.(1)求an,Sn;(2)设bn=Sn-1(n∈N*),Tn=+…+,求Tn.8.已知数列{an}是首项为a1=,公比q=的等比数列,设bn+2=3loan(n∈N*),数列{cn}满足cn=an·bn.(1)求证:{bn}是等差数列;(2)求数列{cn}的前n项和Sn;(3)若cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.答案与解析专题能力训练25解答题专项训练(数列)1.解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则解得∴an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1=(n-1)·+3=n(n+2).∴bn=n(n+2)(n∈N*).∴,Tn==.2.解:(1)a2=,a3=-.(2)=.又∵b1=a2-2=-,∴数列{bn}是等比数列,且bn==-.(3)由(2)得a2n=bn+2=2-(n=1,2,3,…,50),S=a2+a4+…+a100=2×50-=100-1+=99+.3.解:(1)当n=1时,=4S1-2a1-1,即(a1-1)2=0,解得a1=1,当n=2时,=4S2-2a2-1=4a1+2a2-1=3+2a2,解得a2=3或a2=-1(舍去).(2)由已知=4Sn-2an-1,①=4Sn+1-2an+1-1,②②-①得=4an+1-2an+1+2an=2(an+1+an),即(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an).∵数列{an}各项均为正数,∴an+1+an>0,∴an+1-an=2.∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,∴an=2n-1.(3)∵an=2n-1,∴a=(2an+2,m)=(2(2n+3),m)≠0,b=(-an+5,3+an)=(-(2n+9),2(n+1))≠0.又a⊥b⇔a·b=0⇔m(n+1)-(2n+3)(2n+9)=0⇔m=4(n+1)+16+.∵m,n∈N*,∴n+1=7,m=4×7+16+1,即n=6,m=45.∴当且仅当n=6,m=45时,a⊥b.4.解:(1)由题意知,对n∈N*有bn=500-an,所以当n∈N*,且n≥2时,an=an-1+(500-an-1)⇒an=an-1+150⇒an-300=(an-1-300).故当a1=300时,{an-300}不是等比数列;当a1≠300时,{an-300}是以a1-300为首项,为公比的等比数列.(2)当a1=200时,an-300=(a1-300)⇒an=300-⇒a10=300-≈300,故第十个星期一选A菜的大约有300人.5.解:(1)当n≥2时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减,得an=an-an-1+2n-1,∴an-1=2n-1(n≥2).∴an=2n+1(n≥2).∴3n·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,∴bn+1=.当n≥2时,bn=.又∵b1=3适合上式,∴bn=.(2)由(1)知bn=,∴Tn=+…+,①Tn=+…+,②①-②,得Tn=3++…+=3+4×=5-.∴Tn=.Tn-Tn+1==-<0,∴Tn7,∴当Tn<7时,n的最大值为3.6.解:(1)∵{bn}为等差数列,设公差为d,b1=1,S5=15,∴S5=5+10d=15,d=1.∴bn=1+(n-1)×1=n.设从第3行起,每行的公比都是q,且q>0,a9=b4q2,4q2=16,q=2,1+2+3+…+9=45,故a50是数阵中第10行第5个数,而a50=b10q4=10×24=160.(2)∵Sn=1+2+…+n=,∴Tn=+…++…+=2+…+=2.7.解:(1)因为S3=2S2+4,所以a1-d=-4.又因为a5=36,所以a1+4d=36,解得d=8,a1=4,an=4+8(n-1)=8n-4,Sn==4n2.(2)bn=4n2-1=(2n-1)(2n+1),所以,Tn=+…+==.8.(1)证明:由题意知an=(n∈N*),∵bn=3loan-2,b1=3loa1-2=1,∴bn+1-bn=3loan+1-3loan=3lo=3loq=3,∴数列{bn}是首项b1=1,公差d=3的等差数列.(2)解:由(1)知,an=,bn=3n-2(n∈N*),则cn=(3n-2)×(n∈N*),Sn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,于是Sn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,两式相减得Sn=+3-(3n-2)×-(3n+2)×.∴Sn=(n∈N*).(3)解:∵cn+1-cn=(3n+1)·-(3n-2)·=9(1-n)·(n∈N*),∴当n=1时,c2=c1=,当n≥2时,cn+1
