直线与抛物线的位置关系一、选择题1．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于()A.B．2C．D．[答案]C2．抛物线y2＝9x与直线2x－3y－8＝0交于A，B两点，则线段AB中点的坐标为()A．(，－)B．(，)C．(－，－)D．(－，)[答案]B[解析]由2x－3y－8＝0得，x＝y＋4，代入y2＝9x中得y2－y－36＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，则y0＝＝，x0＝＝(y1＋4＋y2＋4)＝(y1＋y2)＋4＝y0＋4＝，故选B.3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B．C.D．[答案]D[解析]设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由消去y得，k2x2＋4x(k2－2)＋4k2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝4.由抛物线定义得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又∵|AF|＝2|BF|，∴x1＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2代入x1x2＝4，得x＋x2－2＝0，∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4，∴＝5，∴k2＝，∵k>0，∴k＝.4．若直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则过点P(m，n)的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个数是()A．0B．1C．2D．1或21二、填空题5．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是______________________．[答案]4[解析]过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．6．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________．[答案]k>或k<－[解析]设M(x1，x)，N(x2，x)关于直线y＝kx＋对称，∴＝－，即x1＋x2＝－.设MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝－，y0＝k×(－)＋＝4.因中点P在y＝x2内，有4>(－)2⇒k2>，∴k>或k<－.7．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．[答案]三、解答题8．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．[解析]由A、B两点在抛物线y2＝6x上，可设A(，y1)，B(，y2)．因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0.由OA＝(，y1)，OB＝(，y2)，得＋y1y2＝0.∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36，①∵点A、B与点P(4,2)在一条直线上，∴＝，化简得＝，即y1y2－2(y1＋y2)＝－24.将①式代入，得y1＋y2＝－6.②2由①和②，得y1＝－3－3，y2＝－3＋3，从而点A的坐标为(9＋3，－3－3)，点B的坐标为(9－3，－3＋3)，所以|AB|＝＝6.3
