专题对点练22直线与圆及圆锥曲线1.(2017河南南阳、信阳等六市一模,理20)如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;(2)过焦点F的直线(不经过点Q)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,说明理由.解(1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,所以抛物线方程为y2=4x,准线l的方程为x=-1.(2)由条件可设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0.由抛物线准线l:x=-1,可知M(-1,-2k).又Q(1,2),所以k3==k+1,把直线AB的方程y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x,并整理,可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,又Q(1,2),则k1=,k2=.因为A,F,B三点共线,所以kAF=kBF=k,即=k,所以k1+k2==2(k+1),即存在常数λ=2,使得k1+k2=2k3成立.2.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1==-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得2×|b-a|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.3.(2016河南许昌、新乡、平顶山二模,理20)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45°时,AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).(1)求p的值;(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧的长度为S,当直线l绕F旋转时,求的最大值.解(1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,当l的倾斜角为45°时,l的方程为y=x+.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2px-p2=0,x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB中点为D,AB中垂线为y-p=-(x-p),将x=0代入得y=p=5,解得p=2.(2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,AB中点为D(2k,2k2+1),令∠MDN=2α,S=2α·|AB|=α·|AB|,∴=α,D到x轴的距离|DE|=2k2+1,cosα=.当k2=0时,cosα取最小值,α的最大值为.故的最大值为.4.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,所以+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).导学号〚16804215〛5.(2017山西吕梁二模,理20)如图,已知圆N:x2+(y+)2=36,P是圆N上的点,点Q在线段NP上,且有点D(0,)和DP上的点M,满足=2=0.(1)当P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;(2)若斜率为的直线l与(1)中所求Q的轨迹交于不同两点A,B,又点C,求△ABC面积取最大值时对应的直线l的方程.解(1)由题意,MQ是线段DP的中垂线,∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6>|DN|=2,∴Q的轨迹是以D,N为焦点的椭圆,且c=,a=3,b=2,∴所求点Q的轨迹方程是=1.(2)设l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆联立,可得9x2+6mx+2m2-18=0,x1+x2=-m,x1·x2=(2m2-18),|AB|=,∵C到直线l的距离d=,又S=|AB|d=,∴m=±3时,S最大,此时直线l的方程为y=x±3.导学号〚16804216〛6.(2017安徽黄山二模,理20)已知椭圆E:=1(a>)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A的直线交椭圆E于P,Q两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线;(3)当△FPQ面积最大时,求直线PQ的方程.(1)解由⇒a=,c=ea==2,则b2=a2-c2=2,故椭圆E的方程是=1.(2)证明由(1)可得A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),由方程组得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意Δ=12(2-3k2)>0,得-0,得m2>.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=.∴S△FPQ=|AF|·|y1-y2|===,令t=m2+3(t≥3),则S△FPQ=|y1-y2|=,∴,t=m2+3=9,即m2=6,m=±时,S△FPQ最大,∴S△FPQ最大时直线PQ的方程为x±y-3=0.
