单元检测六数列与数学归纳法(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若S21＝63，则a7＋a11＋a15等于()A．6B．9C．12D．15答案B解析设数列{an}的公差为d，则由S21＝63，得21a1＋210d＝63，即a1＋10d＝3，所以a7＋a11＋a15＝3a1＋30d＝3(a1＋10d)＝9，故选B.2．已知正项等比数列{an}满足(a1a2a3a4a5)＝0，且a6＝，则数列{an}的前9项和为()A．7B．8C．7D．8答案C解析由(a1a2a3a4a5)＝0，得a1a2a3a4a5＝a＝1，所以a3＝1.又a6＝，所以公比q＝，a1＝4，故S9＝4·＝＝7，故选C.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4答案D解析当n＝1时，左边应为1＋2＋…＋(1＋3)，即1＋2＋3＋4，故选D.4．等差数列{an}的前n项和为Sn，S2018>0，S2019<0，且对任意正整数n都有|an|≥|ak|，则正整数k的值为()A．1008B．1009C．1010D．1011答案C解析由S2019<0，得a1010<0，由S2018>0，得a1009＋a1010>0，∴a1009>－a1010＝|a1010|.又d<0，n>1010时，|an|>|a1010|，n<1010时，|an|≥|a1009|>|a1010|，∴k＝1010.5．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列的前n项和为()A.B.C.D.答案D解析由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，故＝，故数列的前n项和为(2＋3＋…＋n＋1)＝，故选D.6．用数学归纳法证明“＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是()A.B.＋C.＋－D.＋－－答案C解析分别代入n＝k，n＝k＋1，两式作差可得左边应添加项．当n＝k时，左边为＋＋…，当n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，所以增加项为两式作差得＋－，故选C.7．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则数列{an}的通项公式为()A．an＝3nB．an＝3n－1C．an＝2nD．an＝2n－1答案B解析因为2Sn＝an＋1－1，所以2a1＝a2－1，又a1＝1，所以a2＝3.由题知当n≥2时，2Sn－1＝an－1，所以2an＝an＋1－an，易知an≠0，所以＝3(n≥2)，当n＝1时，也符合此式，所以{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n－1(n∈N*)，故选B.8．已知数列{an}中，a1＝，且对任意的n∈N*，都有an＋1＝成立，则a2020的值为()A．1B.C.D.答案C解析由题得a1＝；a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝，数列{an}为周期数列，且a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝(n∈N*)，a2＝a4＝a6＝…＝a2n＝(n∈N*)，所以a2020＝，故选C.9．已知数列{an}的通项公式为an＝n3－n2＋24(n∈N*)，则当an取得最小值时，n等于()A．5B．6C．7D．8答案C解析令f(x)＝x3－x2＋24(x≥1)，则f′(x)＝3x2－21x＝3x(x－7)．在区间(1,7)内，f′(x)<0；在区间(7，＋∞)内，f′(x)>0.故当x＝7时，f(x)取得最小值，即n＝7时，an取得最小值，故选C.10．设数列{an}满足a1＝，且对任意的n∈N*，都有an＋2－an≤3n，an＋4－an≥10×3n，则a2021等于()A.B.＋2C.D.＋2答案A解析因为对任意的n∈N*，满足an＋2－an≤3n，an＋4－an≥10×3n，所以10×3n≤(an＋4－an＋2)＋(an＋2－an)≤3n＋2＋3n＝10×3n，所以an＋4－an＝10×3n.因为a2021＝(a2021－a2017)＋(a2017－a2013)＋…＋(a5－a1)＋a1＝10×(32017＋32013＋…＋3)＋＝10×＋＝.11．记f(n)为最接近(n∈N*)的整数，如：f(1)＝1，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝2，f(5)＝2，….若＋＋＋…＋＝4038，则正整数m的值为()A．2018×2019B．20192C．2019×2020D．2020×2021答案C解析设x，n∈N*，f(x)＝n，则n－<
