专题一思想方法应用第1讲转化与化归思想思想诠释转化与化归思想：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想．其应用包括以下三个方面：(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题．(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．应用示例方法1换元法【典例】(2016·江西赣州模拟)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．【思路分析】→→【解题过程】令b＝x，c＝y，则x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2，(换元转化)此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，(建立模型)则圆心到直线的距离d＝≤，解得a2≤，(分析求解)所以a的最大值为，故填.(总结作答)【回顾反思】换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行．【方法运用】已知a为正常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为________．【解析】原不等式即≥1＋－(x≥0)，(*)令＝t，t≥1，则x＝t2－1，所以(*)式可化为≥1＋－t＝＝对t≥1恒成立，所以≥1对t≥1恒成立，又a为正常数，所以a≤[(t＋1)2]min＝4，故a的最大值是4，故填4.方法2直接转化法【典例】已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84【思路分析】→→【解题过程】设等比数列{an}的公比为q，则有a1＋a3＋a5＝a1＋a1q2＋a1q4＝21，(公式转化)整理有q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，(方程求解)那么a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42，(整体思维)故选B.(回归作答)【回顾反思】本题利用等比数列的通项公式进行直接转化与应用．通过等比数列的性质，巧妙把式子a1＋a3＋a5，a3＋a5＋a7整体化，进而求解．整体化技巧在解决一些数列性质、创新定义、创新运算等数列问题时经常有上佳表现．【方法运用】有限数列A＝{a1，a2，a3，…，an}，Sn是其前n项和，定义为数列A的“凯森和”，如有99项的数列A＝{a1，a2，a3，…，a99}的“凯森和”为1000，则有100项的数列1{1，a1，a2，a3，…，a99}的“凯森和”为________．【解析】根据“凯森和”的定义，知＝1000，则S1＋S2＋S3＋…＋S99＝99000，则有100项的数列{1，a1，a2，a3，…，a99}的“凯森和”为＝＝＝991，故填991.方法3等价转化法【典例】解不等式：x＋|2x＋3|≥2.【思路分析】→→→【解题过程】原不等式可化为或(转化)解得x≤－5或x≥－.(求解)综上，原不等式的解集是{x|x≤－5或x≥－}．(回归)【回顾反思】等价转化法常用于含有绝对值的问题，含有根号问题，复合函数问题等的求解中，求解的关键是去绝对值、去根号、简化复合函数等，利用运算法则、函数性质等进行等价转化，把问题简单化处理．【方法运用】解不等式：x|2x＋3|≥2.解：原不等式可化为或解得x∈∅或x≥，综上，原不等式的解集是{x|x≥}．方法4特殊转化法【典例】在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝__________，y＝________.【思路分析】→→→【解题过程】不妨设AC⊥AB，且AB＝4，AC＝3，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，(寻找特例)则A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，M(0,2)，N，那么MN＝，AB＝(4,0)，AC＝(0,3)，由MN＝xAB＋yAC，可得＝x(4,0)＋y(0,3)，(特例转化)即＝(4x,3y)，则有解得故分别填，－.(得出结论)【回顾反思】常用的特殊转化法有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊点、特殊角、特殊位置等．通过特殊转化法来处理相关的数学问题，有时可以达到非常好的效果，且直观简单，快捷方便．【方法运用】已知数列{xn}满足xn＋3＝xn，xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，则数列{xn}的前2019项和S2019＝________.【解析】根据题意，特殊化可得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a(a≤1，a≠0)，则x1＋x2＋x3＝22.又xn＋3＝xn，所以x4＝x1，x5＝x2，x6＝x3，即x4＋x5＋x6＝x1＋x2＋x3＝2....
