课时作业17抛物线的简单几何性质时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．y2＝±6y解析：对称轴为y轴可设抛物线方程为x2＝my(m≠0)，又 ||＝3，∴m＝±12.∴抛物线方程为x2＝±12y.答案：C2．设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为()A.B．pC．2pD．无法确定解析：由题意得当AB⊥x轴时，|AB|取最小值，为2p.答案：C3．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点解析： 直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．答案：C4．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A．2B.C．2D.解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0. 直线与抛物线交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，即k>－1.又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去)．∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝2.答案：C15．(2011·全国高考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.B.C．－D．－解析：由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA|＝5，|FB|＝2，FA·FB＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.答案：D6．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于()A.B.C.D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，①根据抛物线的定义得，|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2， |FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2，②由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)得k＝，选D.答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：直线y＝x－，故∴x2－3px＋＝0，|AB|＝8＝x1＋x2＋p，∴4p＝8，p＝2.答案：28．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．解析：设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝k.又 P(2,2)为AB的中点，∴＝2.∴k＝4.∴y2＝4x.答案：y2＝4x9．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于________．解析：由|BF|＝2小于点M到准线的距离(＋)知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为，代入得y2＝2x，则B(，－)(另一种可能是(，))，那么此时直线AC的方程为＝，即y＝，把y＝代入y2＝2x，可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，则有y＝2，即A(2,2)，那么S△BCF∶S△ACF＝BC∶AC＝(＋)∶(2＋)＝4∶5.答案：4∶52三、解答题(共40分)10．(10分)直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．解： 抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，∴＝6，解得k＝±1.∴所求直线l的方程为y＋x－1＝0或x－y－1＝0.11．(15分)图1如图1所示，O为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OM⊥ON.解：(1)直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．①(2)由①及y2＝2x，消去y可得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0.②点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，由韦达定理，得x1x2＝＝4.由y＝2x1，y＝2x2，得(y1y2)2＝4x1x2＝4×4＝16，由图可知y1y2<0，所以y1y2＝－4.(3)证明...
