专题2.3函数的奇偶性与周期性【考试要求】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.【知识梳理】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【微点提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()1(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√【解析】(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.(3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y＝f(x＋b)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y＝f(x)的图象关于(b，0)对称，正确.【教材衍化】2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝|lnx|D.y＝2－x【答案】B【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.【答案】1【解析】由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.【真题体验】4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A.y＝x3B.y＝xC.y＝|x|D.y＝|tanx|【答案】C【解析】对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；对于B，y＝x是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y＝|tanx|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.【答案】12【解析】 x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，且f(x)在R上为奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.6.(2019·上海崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，2则当x∈[1，2]时，f(x)＝________.【答案】log2(3－x)【解析】当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]，又f(x)在R是上以2为周期的偶函数，∴f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝log2(3－x).【考点聚焦】考点一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝【答案】见解析【解析】(1)由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又 f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数...
