第七讲椭圆双曲线抛物线与直线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置方法1.方法一：代数法（常用）代数法求位置关系的基本思路联立直线方程与圆锥曲线方程，消y（或消x）得到一个关于变量x（或者变量y）的一元方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，则当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．注意：联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况2.方法二：几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．3.方法三：数形结合运用（小题）（1）直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一直线与椭圆的位置关系【例1】已知直线，椭圆C：．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点．【答案】见解析【套路秘籍】---千里之行始于足下【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组得①，判别式（1）当，即时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点（2）当，即时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点（3）当，即或时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点【举一反三】1．已知直线l过点(0,−1)，椭圆C：x225+y236=1，则直线l与椭圆C的交点个数为。【答案】2【解析】 点(0,−1)在椭圆C：x225+y236=1的内部，而直线l过点(0,−1)，∴直线与椭圆相交，交点个数为2，故选C．2．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2+y24=1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为❑√2−1的点P的个数为。【答案】3【解析】由直线l的方程与椭圆x2+y24=1的方程组成方程组¿，解得¿或¿，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB=❑√(0+1)2+(2−0)2=❑√5， △PAB的面积为❑√2﹣1，∴AB边上的高为h=❑√2−112×❑√5=2(❑√2−1)❑√5．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+b24=1，P到直线y=2x+2的距离d=¿2a−b+2∨¿❑√5¿=2(❑√2−1)❑√5，即2a﹣b=2❑√2﹣4或2a﹣b=﹣2❑√2；联立得：¿①或¿②，①中的b消去得：2a2﹣2（❑√2﹣2）a+5﹣4❑√2=0， △=4（❑√2﹣2）2﹣4×2×（5﹣4❑√2）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2❑√2a+1=0， △=（2❑√2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为❑√2﹣1的点P的个数为3．3．直线y＝x＋m与椭圆x24+y2=1有两个不同的交点，则m的范围是。【答案】－❑√5＜m＜❑√5【解析】由¿，得5x2+8mx+4m2﹣4=0，结合题意△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，解得：－❑√5＜m＜❑√5，考向二直线与双曲线的位置关系【例2】已知直线与双曲线．当k为何值时，直线与双曲线：（1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点．【答案】见解析【解析】由当4-k2=0,，方程无解当当当当综合上述：当-2
