第2节等差数列及其前n项和1．(2019·福州市一模)已知等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an＝()A．2n＋1B．2n＋2C．n＋1D．n＋2解析：D[等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，∴(a1＋3)2＝(a1＋1)(a1＋6)，解得a1＝3.∴an＝3＋(n－1)＝n＋2.]2．(2019·菏泽市一模)已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝2a＋1，a5＝3a＋2，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，且Sk＝66，则k的值为()A．9B．11C．10D．12解析：B[∵在等差数列中，2a3＝a1＋a5，∴2(2a＋1)＝1＋3a＋2，解得a＝1，即a1＝1，a3＝3，a5＝5，∴公差d＝1，∴Sk＝k×1＋×1＝66，解得k＝11或k＝－12(舍)．]3．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为()A．S7B．S6C．S5D．S4解析：C[∵∴∴Sn的最大值为S5.]4．(2019·丹东市一模)已知数列{an}是公差为3的等差数列，{bn}是公差为5的等差数列，若bn∈N*，则数列{abn}为()A．公差为15的等差数列B．公差为8的等差数列C．公比为125的等比数列D．公比为243的等比数列解析：A[数列{an}是公差为3的等差数列，{bn}是公差为5的等差数列，∴an＝a1＋3(n－1)，bn＝b1＋5(n－1)，abn＝a1＋3(bn－1)＝a1＋3[b1＋5(n－1)－1]＝a1＋3b1－3＋15(n－1)，∴数列{abn}为公差是15的等差数列．]5．(2019·唐山市统考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于()A．18B．12C．9D．6解析：D[由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.]6．(2019·玉溪市模拟)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n的值是________．解析：设等差数列公差为d，则有，解得∴a20＝39－2×19＝1＞0，a21＝39－2×20＝－1＜0∴数列的前20项为正，∴当n＝20时，Sn达到最大值．答案：207．(2019·郑州市模拟)《张丘建算经》卷上有如下问题：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．解析：由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．答案：218．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.答案：1309．(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有解得所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知bn＝，当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1；当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2；当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3；当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4，所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7.(1)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn.解：(1)证明：∵f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，∴an＝3n－8，∵an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3，∴数列{an}为等差数列．(2)由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|，∴当1≤n≤2时，bn＝8－3n，Sn＝b1＋…＋bn＝＝＝；当n≥3时，bn＝3n－8，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋1＋…＋(3n－8)＝7＋＝.∴Sn＝
