高中数学确定恒成立不等式中参数范围的十种方法学法指导VIP专享VIP免费

高中数学确定恒成立不等式中参数范围的十种方法学法指导李平龙确定恒成立不等式中参数的取值范围，既是学习的重点，又是各级各类测试的热点，本文就此类问题的求解方法综述于后。一、判别式法例1已知奇函数在实数集R上是减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围。解：由奇函数知，原不等式等价于，据单调性知，，即恒成立。当时，，符合题意；当时，有且△=，即，综上知，a的取值范围是。说明：只有定义在R上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解。二、配方法例2已知函数，若对任意，都有，试求实数a的取值范围。解：即为，配方得，，因为，所以，从而原不等式恒成立等价于，，即a的取值范围为（，+）。说明：对定义在区间上的二次函数常运用此法求其最值。三、参数分离法例3已知函数，若对任意恒有，试求实数a的取值范围。解：因为，所以原不等式等价于。当时，符合题意；当时，不等式等价于。因为时，不等式成立，所以当时，参数分离得配方知，，，故由，得；综上所述，a的取值范围是[1，9]。说明：由于分离后的函数不含参数，因此易于求最值。四、基本不等式法例4若不等式对一切正数x、y恒成立，求实数a的取值范围。解：参数分离得，=，因为，所以，所以，从而，即a的取值范围是。说明：对多变元的恒不等式问题，灵活运用基本不等式常使问题获得简解。五、导数法用心爱心专心例5设函数，若对所有的，都有成立，求实数a的取值范围。解：。因为，所以当时，，在为增函数，从而，这说明都符合题意；当时，由，得，记，则，，在上是减函数，故有=0，这说明都不符合题意。综上知，a的取值范围是。说明：初等方法求最值繁难时，务必联想到研究函数的通法——“导数法”。六、赋值法例6是否存在常数c，使得不等式对一切正实数x、y恒成立？证明你的结论。解：假设存在常数c使原不等式对一切正实数x、y恒成立，则当时也成立，即，从而必有，这是原不等式成立的必要条件。下证充分性：因为，所以；同理可证，。故存在唯一实数适合题意。说明：当问题不易直接求解时，赋值法常让我们看到胜利曙光。七、换元法例7若不等式对一切非负实数x、y恒成立，试求实数m的取值范围。解：若，则对任意实数m不等式都成立；若，则原不等式可化为，设，则且=，问题转为二次函数在区间上的最小值非负。故有或由此解得m的取值范围是。说明：换元是化归与转化的重要手段，通过换元化难为易、化隐为显，何乐而不为呢？本例便将“二元”化成了“一元”。八、数学归纳法例8已知数列满足，，，若对一切成立，求a的取值范围。解：抓住实施赋值推理有，得，它仅保证命题对成立；假设时命题成立，即，则，这说明时命题也成立。用心爱心专心综上所述，时命题恒成立，故a的取值范围是（7，）。评注：运用赋值法抓住结论成立的一个必要条件，并以此作为思维的新起点，借助于数学归纳法顺序地完成了充分的证明，求解过程给人以“起死回生”之感。九、反证法例9已知数列中，是否存在正数a，使得对任意都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。解：假设存在正数a使恒成立，则，运用赋值法推理得，即，解得；以此为思维的新起点，便可导致矛盾的结论。因为，所以，即数列是递减数列，故，所以，从而，所以…，即，所以当时，有，这与恒成立相矛盾，从而不存在a适合题意。评注：抓住一个必要条件，产生了矛盾的结论（实为反证法），则探索终止，结论为假；若探索出一个正确的命题，则还需设法证明充分性；否则，不符合逻辑规则。十、数形结合法例10若函数的定义域为实数集R，求实数a的取值范围。解：的定义域为R等价于在实数集R中恒成立，令，则，且，即，故时，函数的图象不在函数的图像的下方，如图1所示，有，，故a的取值范围是[0，1]。综上所述，只有在函数思想（尤其是最值）的正确指引下，合理地进行代数变形，灵活地选择以上所述的基本方法，才能在参数的确定上取得良好的学习效果。用心爱心专心