第2节证明不等式的基本方法【选题明细表】知识点、方法题号用比较法证明不等式1用综合法、分析法证明不等式2用反证法、放缩法证明不等式3证明不等式方法的综合应用41
(2017·揭阳二模)已知函数f(x)=|2|x|-1|
(1)求不等式f(x)≤1的解集A;(2)当m,n∈A时,证明:|m+n|≤mn+1
(1)解:由|2|x|-1|≤1,得-1≤2|x|-1≤1,即|x|≤1,解得-1≤x≤1,所以A=[-1,1]
(2)证明:|m+n|2-(mn+1)2=m2+n2-m2n2-1=-(m2-1)(n2-1),因为m,n∈A,故-1≤m≤1,-1≤n≤1,m2-1≤0,n2-1≤0,故-(m2-1)(n2-1)≤0,|m+n|2≤(mn+1)2
又显然mn+1≥0,故|m+n|≤mn+1
(2017·四川宜宾二诊)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-3,3]
(1)解不等式:f(x)+f(x+2)>0;(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:++≥3
(1)解:因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}
又f(x+2)≥0的解集为[-3,3],故m=3
所以f(x)+f(x+2)>0可化为:3-|x-2|+3-|x|>0,所以|x|+|x+2|
