第2节证明不等式的基本方法【选题明细表】知识点、方法题号用比较法证明不等式1用综合法、分析法证明不等式2用反证法、放缩法证明不等式3证明不等式方法的综合应用41.(2017·揭阳二模)已知函数f(x)=|2|x|-1|.(1)求不等式f(x)≤1的解集A;(2)当m,n∈A时,证明:|m+n|≤mn+1.(1)解:由|2|x|-1|≤1,得-1≤2|x|-1≤1,即|x|≤1,解得-1≤x≤1,所以A=[-1,1].(2)证明:|m+n|2-(mn+1)2=m2+n2-m2n2-1=-(m2-1)(n2-1),因为m,n∈A,故-1≤m≤1,-1≤n≤1,m2-1≤0,n2-1≤0,故-(m2-1)(n2-1)≤0,|m+n|2≤(mn+1)2.又显然mn+1≥0,故|m+n|≤mn+1.2.(2017·四川宜宾二诊)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-3,3].(1)解不等式:f(x)+f(x+2)>0;(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:++≥3.(1)解:因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-3,3],故m=3.所以f(x)+f(x+2)>0可化为:3-|x-2|+3-|x|>0,所以|x|+|x+2|<6.①当x≤-2时,-x-x-2<6,所以x>-4,所以-40时,x+x+2<6,所以x<2,又x>0,1所以00的解集为:{x|-40),且f(x-2)≥0的解集为[-3,-1].(1)求m的值;(2)若a,b,c都是正实数,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.(1)解:依题意f(x-2)=m-|x+2|≥0,即|x+2|≤m-m-2≤x≤-2+m,⇔所以m=1.(2)证明:因为++=1(a,b,c>0)所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=3+(+)+(+)+(+)≥9,当且仅当a=2b=3c,即a=3,b=,c=1时取等号.3
