课时分层训练(十三)导数的概念及运算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()【导学号：00090060】A．2B．0C．－2D．－4D[f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.]2．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A．4B．5C．D．C[ f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，∴所求面积S＝××10＝.]3．(2018·武汉模拟)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．1B．－1C．2D．－2A[f(x＋1)＝，故f(x)＝，即f(x)＝2－，对f(x)求导得f′(x)＝，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1，故选A．]4．(2018·成都模拟)已知函数f(x)的图像如图2101，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()图2101A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)C[如图：f′(3)、f(3)－f(2)、f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，故0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选C．]5．(2018·福州模拟)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图像是()A[ f(x)＝x2＋sin＝x2＋cosx，∴f′(x)＝x－sinx，它是一个奇函数，其图像关于原点对称，故排除B、D．又f′＝－＜0，故排除C，选A．]二、填空题6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________.【导学号：00090061】2x－y＋1＝0[由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图像在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]7．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.]8．如图2102，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.图21020[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝xnlgx；(2)y＝＋＋；(3)y＝.[解](1)y′＝nxn－1lgx＋xn·＝xn－1.(2)y′＝′＋′＋′＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－－－.(3)y′＝′＝＝＝.10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围.【导学号：00090062】[解](1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，2分所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，所以斜率最小的切线过点，4分斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－＝0.6分(2)由(1)得k≥－1，9分所以tanα≥－1，所以α∈∪.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3A[若y＝f(x)的图像上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A：y′＝cosx，若有cosx1·cosx2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1， x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A．]2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．2x－y＝0[设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x. f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x...
