高考数学复习专题 恒成立、有解问题VIP免费

高考数学复习专题恒成立、有解问题本专题介绍与等式或不等式的恒成立问题以及方程有解问题的讨论，通过本专题的学习我们掌握其基本问题的求解方法，加深领会转化与化归思想以及数形结合思想在解题中的应用.一、高考题例题目1：(2005年全国卷III)已知函数2472xfxx，01x，（Ⅰ）求fx的单调区间和值域；（Ⅱ）设1a，函数223201gxxaxax，，，若对于任意101x，，总存在001x，，使得01gxfx成立，求a的取值范围解：对函数fx求导，得2241672xxfxx，221272xxx。令0fx，解得112x或272x当x变化时，fx，、fx的变化情况如下表：x0102，12112，1fx，0fx7243所以，当102x，时，fx是减函数；当112x，时，fx是增函数；当01x，时，fx的值域为43，（Ⅱ）对函数gx求导，得：223gxxa，因此1a，当01x，时，2310gxa，因此当01x，时，gx为减函数，从而当01x，时有10gxgg，又21123gaa，02ga，即当1x0，时有：21232gxaaa，任给11x0，，143fx，，存在001x，使得01gxfx，则用心爱心专心教育是我们一生的事业2123243aaa，，即212341232aaa（）（）解1（）式得1a或53a；解2（）式得32a，又1a，故：a的取值范围为312a点评：本题中（3）问是把方程01gxfx的有解问题转化为两个函数的值域问题，这是解决方程有解问题的基本策略。题目2：（2005年高考山东卷）已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系式；（II）求()fx的单调区间；（III）当1,1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.解：(I)2()36(1)fxmxmxn因为1x是函数()fx的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn，所以36nm（II）由（I）知，2()36(1)36fxmxmxm=23(1)1mxxm当0m时，有211m，当x变化时，()fx与()fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m11,()fx00000()fx调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当0m时，()fx在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减.（III）由已知得()3fxm，即22(1)20mxmx又0m所以222(1)0xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm①用心爱心专心教育是我们一生的事业设212()2(1)gxxxmm，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010gmmg解之得43m又0m所以403m即m的取值范围为4,03点评：本题第（3）问中的不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题，此时借助了二次函数图像的特性。二、经典例题例1：（2004年高考文科数学福建卷）已知f(x)=)(32432Rxxaxx在区间[－1，1]上是增函数.（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设关于x的方程f(x)=3312xx的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解：（1）f＇(x)=4+2,22xax f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.①设(x)=x2－ax－2，方法一：(1)=1－a－2≤0，①－1≤a≤1，(－1)=1+a－2≤0. 对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.方法二：2a≥0，2a<0，①...