函数的奇偶性 (2)VIP专享VIP免费

点此播放讲课视频在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：它关于什么对称？而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。点此播放讲课视频观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxO)0(1)(xxxfx0-x0fx=x3fx=x例如：对于函数f(x)=x3有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)点此播放讲课视频-xxf(-2)=(-2)2=4f(2)=4而函数f(x)=x2，却是另一种情况，如下：f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)结论:当自变量x任取定义域中的一对相反数时,对应的函数值相等，即f(-x)=f(x)而函数f(x)=x2，却是另一种情况，如下：函数奇偶性的定义:偶函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就是说函数f(x)具有奇偶性。练习:说出下列函数的奇偶性:①f(x)=x4________③f(x)=x________④f(x)=x-2__________⑤f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________②f(x)=x-1__________奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数对于形如f(x)=xn()的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。Zn例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a解:定义域为R∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数解:定义域为R∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a即f(-x)=f(x)∴f(x)为偶函数说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.11)()4(1)()3(2xxfxxxf为奇函数即解：定义域是xfxfxfxxxxxfoxx)1(1)(为偶函数即）（解：定义域是xfxfxfxxxfR1111)(22思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。(1)f(x)=(2)f(x)=x2x∈[-4,4)解:∵定义域不关于原点对称或∵f(-4)=(-4)2=16;f(4)在定义域里没有意义.∴f(x)为非奇非偶函数x解:定义域为[0,+∞)∵定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？思考3：在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？有。例如：函数f(x)=0是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。xy01f(x)=0-1奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数根据奇偶性,函数可划分为四类:本课小结:两个定义:对于函数f(x)定义域内的任意一个x两个步骤:（判断函数的奇偶性）如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。（1）先求出定义域，看定义域是否关于原点对称（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。练一练：2211xxxf判断函数的奇偶性:点此播放讲课视频课本P44页A组10.课外思考题:1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(-x)(2).F(x)=f(x)-f(-x)21xfxx22－（）＝＋－2.判断函数的奇偶性:3.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+x);当x<0,f(x)等于().A.–x(1-x)B.x(1-x)C.-x(1+x)D.x(1+x)4.已知函数f(x),g(x)均奇函数，F(x)=af(x)+bg(x),(a,b不为0的常数)则F(X)为()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶D.既是奇又是偶函数若F(x)=x(f(x)+g(x)),则F(x)为________,F(x)=x2(f(x)+g(x)),则F(x)为________.