课时训练19数列的通项与求和【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+…+a10等于（）A.171B.21C.10D.161【答案】D【解析】原式=S10-S3=2×102-3×10-(2×32-3×3)=161.2.数列{an}的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为（）A.11B.99C.120D.121【答案】C【解析】因an=，故Sn=(-1)+(-)+…+()=-1,由Sn=10,故n=120.3.数列{an}的通项公式为an=4n-1,令bn=,则数列{bn}的前n项和为（）A.n2B.n(n+2)C.n(n+1)D.n(2n+1)【答案】B【解析】∵an=4n-1,∴数列{an}是等差数列，且a1=4-1=3,∴bn==2n+1.显然数列{bn}是等差数列，且b1=2+1=3，它的前n项和Sn=b1+b2+…+bn==n(n+2).4.数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）,…的前n项和等于（）A.2nB.2n-nC.2n+1-n-2D.n·2n【答案】C【解析】令n=1,排除A、D，又令n=2，排除B.选C.5.数列1，，，，…，的前n项和等于()A.Sn=3--B.Sn=3--1-C.Sn=3--D.Sn=3-n2n-【答案】A【解析】令Sn=1+++…+,①则Sn=++…+.②①-②得∴Sn=1++…+=1+=.∴Sn=3--,故选A.或者用特殊法.6.Sn=1++…+等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】an=,∴Sn=2［(1-)+(-)+…+()］=2(1-)=.7.(2010全国大联考，10)已知数列{an}满足an=则{an}的前2k-1项的和为()A.k2-k+1-B.k2+k+1-C.D.【答案】A【解析】取k=1，S1=，排除B、C；取k=2,S3=,排除D。二、填空题（每小题5分，共15分）8.已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),那么S15+S22-S31的值为_________________.【答案】-76【解析】S15=1-5+9-13…+57=1+(9-5)+(17-13)+…+(57-53)=29,同理可得：S22=-44，S31=61,∴S15+S22-S31=-76.9.(2010湖北八校模拟，14)数列{an}中，Sn是前n项和，若a1=1,an+1=Sn(n≥1),则an=__________.【答案】an=【解析】∵an+1=Sn,①∴an=Sn-1.②①-②得an+1-an=an,∴(n≥2).∵a2=S1=×1=,∴当n≥2时，an=×()n-2.∴an=10.数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an,则an=_______________.【答案】(n∈N*)【解析】∵a1+a2+…+an=n2an①∴a1+a2+…+an+an+1=(n+1)2·an+1.②②-①得∴an+1=(n+1)2an+1-n2an,.∴an=a1··…·.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.求a+2a2+3a3+…+nan.【解析】设S=a+2a2+3a3+…+nan.若a=0,则S=0；若a=1,则S=;若a≠0,且a≠1,则S=a+2a2+3a3+…+nan,①aS=a2+2a3+…+(n-1)an+nan+1②①-②得（1-a）S=a+a2+…+an-nan+1=-nan+1.∴S=.12.(2010湖北黄冈中学模拟，17)已知等比数列{an}中，a1=64,公比q≠1,a2,a3,a4又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.(1)求an;(2)设bn=log2an,求数列{|bn|}的前n项和Tn.【解析】（1）依题意有a2-a4=3(a3-a4)，即2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0，即2q2-3q+1=0.∵q≠1,∴q=.故an=64×()n-1,(2)bn=log2［64×()n-1］=log227-n=7-n，∴|bn|=n≤7时，Tn=;n＞7时，Tn=T7+=21+，故Tn=13.(2010中科大附中模拟，19)等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列，S5=a52;(1)求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前99项的和.【解析】(1)设数列{an}公差为d(d＞0),∵a1,a3,a9成等比数列,∴a32=a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d.①∵d≠0,∴a1=d.∵Sn=a52,∴5a1+·d=(a1+4d)2.②由①②得：a1=d=,∴an=+(n-1)×=n.bn=.∴b1+b2+b3+…+b99=［99+(1-)+(-)+…+()］=(100-)=.14.设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n,(1)求数列{an}的首项与递推关系式an+1=f(an);(2)先阅读下面定理，若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B,其中A、B为常数，且A≠1,B≠0,则数列{an-}是以A为公比的等比数列，请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式;(3)求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3(n+1).∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.故an+1=f(an)=2an+3.(2)∵an+1+3=2(an+3),∴{an+3}为等比数列，首项为a1+3=6,公比为2，故an+3=6×2n-1=3×2n.∴an=3×2n-3.(3)Sn=a1+a2+a3+…+an=3(2+22+…+2n)-3n=3×2n+1-6-3n.
