备战数学应考能力大提升典型例题例1已知a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4bc≤0.上述三个同向不等式相加得，4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．例2已知a＞0，－＞1,求证：＞.【证明】证法一：由已知－＞1及a＞0，可知b＞0，要证＞，可证·＞1，即证1＋a－b－ab＞1，这只需证a－b－ab＞0，即＞1，即－＞1，而这正是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证．证法二：－＞1及a＞0，可知1＞b＞0，∵－＞1，∴a－b－ab＞0,1＋a－b－ab＞1，(1＋a)(1－b)＞1.由a＞0,1－b＞0，得·＞1，即＞.创新题型1.如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB、DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．答案解：(1)取CD的中点G，连结MG、NG.设正方形ABCD、DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．因为MN＝，所以sin∠MNG＝为MN与平面DCEF所成角的正弦值．(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．
