高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题35等比数列问题探究VIP专享VIP免费

专题35等比数列问题探究【热点聚焦与扩展】等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等比数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等差数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．1、定义：数列na从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数0qq，则称na为等比数列，这个常数q称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q的等比数列，而常数列0,0,0,L只是等差数列2、等比数列通项公式：11nnaaq，也可以为：nmnmaaq3、等比中项：若,,abc成等比数列，则b称为,ac的等比中项（1）若b为,ac的等比中项，则有2abbacbc（2）若na为等比数列，则nN，1na均为2,nnaa的等比中项（3）若na为等比数列，则有mnpqmnpqaaaa4、等比数列前n项和公式：设数列na的前n项和为nS当1q时，则na为常数列，所以1nSna当1q时，则111nnaqSq可变形为：1111111nnnaqaaSqqqq，设11akq，可得：nnSkqk5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列na中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列,nnab，则有①数列nka（k为常数）为等比数列②数列na（为常数）为等比数列，特别的，当1时，即1na为等比数列③数列nnab为等比数列④数列na为等比数列6、相邻k项和的比值与公比q相关：设1212,mmmknnnkSaaaTaaaLL，则有：212212kmnmmmmkmknnnknnaqqqSaaaaqTaaaaaqqqLLLL特别的：若121222,,kkkkkkkaaaSaaaSSLL2122332,kkkkkaaaSSLL，则232,,,kkkkkSSSSSL成等比数列7、等比数列的判定：（假设na不是常数列）（1）定义法（递推公式）：1nnaqnNa（2）通项公式：nnakq（指数类函数）（3）前n项和公式：nnSkqkx-k/w注：若nnSkqmmk，则na是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于nN，均有212nnnaaa8、非常数等比数列na的前n项和nS与1na前n项和nT的关系111nnaqSq，因为1na是首项为11a，公比为1q的等比数列，所以有1111111111111nnnnnnqaqqqTqaqqaqq1112111111nnnnnnaqaqqSaqTqq9、等差数列性质与等比数列性质：等差数列na等比数列nb递推公式1nnaadnN1nnbqnNb通项公式11naand1nnbbq等差（比）中项122nnnaaa212nnnbbbmnpqmnpqaaaamnpqbbbb等间隔抽项仍构成等差数列仍构成等比数列相邻k项和232,,nnnnnSSSSS成等差数列232,,nnnnnSSSSS成等比数列10、等差数列与等比数列的互化：（1）若na为等差数列，0,1cc，则nac成等比数列证明：设na的公差为d，则11nnnnaaadacccc为一个常数所以nac成等比数列（2）若na为正项等比数列，0,1cc，则logcna成等差数列证明：设na的公比为q，则11loglogloglogncncnccnaaaqa为常数所以logcna成等差数列【经典例题】例1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.例2.【2018届河北省衡水金卷一模】已知等比数列中，，，则（）A.B.-2C.2D.4【答案】C点睛：等比数列中，若，则；等差数列中，若，则.例3.【2018届2018届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】分析：由，可得，分当时，当时，当时和时，由不等式的性质均可得到.详解：当时，，又当时，，点睛：本题考查等比数列的通项公式与求和公式以及不等式的性质，意在考查分类讨论思想与计算能力，属于中档题.例4.【2017课标3，理9】等差数列na的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则na前6项的和为A．24B．3C．3D．8【答案】A【解析】例5.【2018年4月2018届高三...