高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题32均值不等式常见应用VIP专享VIP免费

专题32均值不等式常见应用【热点聚焦与扩展】高考命题中对基本不等式的考查比较灵活，可以说无处不在，重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题，命题形式以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.本专题重点说明应用基本不等式解题的常见类型.1、基本不等式的几个变形：（1）2,0ababab：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22abab：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222abab，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,abR2、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.3、常见求最值的题目类型（1）构造乘积与和为定值的情况（2）已知1axby（a为常数），求mnxy的最值，此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：例如：已知0,0,24xyxyxy，求2xy的最小值解：22211222228xyxyxyxy所以2224248xyxyxyxy即2282320xyxy，可解得2434xy，即min2434xy注：此类问题还可以通过消元求解：42241xxyxyyx，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y的范围由x承担，所以0,2x4、高中阶段涉及的几个平均数：设01,2,,iainL（1）调和平均数：12111nnnHaaaL（2）几何平均数：12nnnGaaaL（3）代数平均数：12nnaaaAnL（4）平方平均数：22212nnaaaQnL5、均值不等式：nnnnHGAQ，等号成立的条件均为：12naaaL特别的，当2n时，22GA2abab即基本不等式【经典例题】例1.【2018届辽宁省辽南协作校高三一模】若lglg0ab且ab，则21ab的取值范围为（）A.22,B.22,C.22,33,D.22,33,【答案】A【解析】 lglg0ab且ab∴lg0ab，即1ab.∴2122222abbaabab，当且仅当22ab时取等号.∴21ab的取值范围为22,故选A.例2.【2018届云南省曲靖市第一中学4月监测卷（七）】若直线平分圆，则的最小值为（）A.B.2C.D.【答案】C则（当且仅当，即时取等号）.故选C．例3.【2018届北京师范大学附中二模】已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为（）A.16B.9C.5D.4【答案】A【解析】 ，，成等差数列，∴.∴，当且仅当且，即时等号成立.选A.例4.【2017天津，理12】若,abR，0ab，则4441abab的最小值为___________.【答案】4【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2abRabab，当且仅当ab时取等号；（2）,abR，2abab，当且仅当ab时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.例5.已知非零向量，，满足，，则的最大值为_______.【答案】【解析】分析：详解：因为，所以的最大值为.例6.【2018届广东省模拟（二）】已知，，展开式的常数项为，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：由题意在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为，确定出，再利用基本不等式求得的最小值.详解：展开式的通项公式为，令，得，从而求的，整理得，而，故答案是.例7．【2018届百校联盟高三TOP20四月联考】已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．【答案】，即所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：例8.【2018届北京市北京19中...