高中数学 2.3 从速度的倍数到数乘向量基础巩固 北师大版必修4VIP免费

【成才之路】-学年高中数学2.3从速度的倍数到数乘向量基础巩固北师大版必修4一、选择题1．[(2a＋8b)－(4a－2b)]等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b[答案]B[解析]原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝－a＋2b.2．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于()A．1B．0C．－1D．±1[答案]C[解析] 向量a＋λb与b＋λa的方向相反，∴(a＋λb)∥(b＋λa)．由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b. a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3．在△ABC中，已知BC＝3BD，则AD等于()A．(AC＋2AB)B．(AB＋2AC)C．(AC＋3AB)D．(AC＋2AB)[答案]A[解析]如图所示，由已知得D点在BC上，且D为BC的三等分点，由加法的三角形法则可得AD＝(AC＋2AB)．应选A.4．(·新课标Ⅰ文，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A．ADB．ADC．BCD．BC[答案]A[解析]如图，EB＋FC＝－(BA＋BC)－(CB＋CA)＝－(BA＋CA)＝(AB＋AC)＝AD.选A.5．已知ΔABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5[答案]B[解析]由MA＋MB＋MC＝0可知，M为△ABC的重心，故AM＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，所以AB＋AC＝3AM，即m＝3.6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝()A．a＋bB．a＋bC．a＋bD．a＋b[答案]B[解析]如图，AF＝AD＋DF，由题意知，DEBE＝13＝DFAB，所以DF＝AB.所以AF＝a＋b＋·(a－b)＝a＋b.故选B.二、填空题7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a可以写成λ1b＋λ2c的形式是________．[答案]a＝－b＋c[解析]a＝λ1b＋λ2c，即－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，所以解得λ1＝－，λ2＝.∴a＝－b＋c.8．在△ABC中，D是BC的中点，向量AB＝a，向量AC＝b，则向量AD＝________.(用向量a，b表示)[答案](a＋b)[解析]如图，延长AD到E，使AD＝DE，则四边形ABEC是平行四边形，则AD＝AE＝(a＋b)．三、解答题9.平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G；BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)试用a，b，c表示向量EL，FM，GN；(2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．[分析]由题目的已知条件和要求证的问题可知本题主要考查平面向量基本定理及应用．(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量EL，FM，GN；(2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O点到三条线段中点的向量相等．[解析](1)如题图， OE＝a，OL＝(b＋c)，∴EL＝OL－OE＝(b＋c－a)．同理：FM＝(a＋c－b)，GN＝(a＋b－c)．(2)设线段EL的中点为P1，则OP1＝(OE＋OL)＝(a＋b＋c)．设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得OP2＝(a＋b＋c)，OP3＝(a＋b＋c)．∴OP1＝OP2＝OP3.即EL，FM，GN交于一点，且互相平分.一、选择题1．设a，b为基底向量，已知向量AB＝a－kb，CB＝2a＋b，CD＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A．2B．－2C．10D．－10[答案]A[解析]AD＝AB＋BC＋CD＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b， A，B，D三点共线，∴AB＝λAD，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b. a，b为基底向量，∴解得λ＝，k＝2.2．(·福建文，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A．OMB．2OMC．3OMD．4OM[答案]D[解析]本题考查了平面向量平行四边形法则，OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.二、填空题3．点C在线段AB上，且AC＝AB，则AC＝________BC.[答案]－[解析]因为CB＝AB，所以BC＝－AB.又AC＝AB，故AC＝AB＝×(－)BC＝－BC.4．在▱ABCD中，E和F分别边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.[答案][解析]如图所示，设AB＝a，AD＝b，则AE＝a＋b，AF＝a＋b，AC＝a＋b. AC＝λAE＋μAF，∴a＋b＝λ(a＋b)＋μ(a＋b)＝(λ＋μ)a＋(λ＋μ)b...