第四章定积分(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列值等于的积分是()A．ʃxdxB．ʃ(x＋1)dxC．ʃ1dxD．ʃdx2．下列式子错误的是()A．ʃxdx<ʃx2dxB．xdx>sinxdxC．xsinxdxʃdx3．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是()A．F(x)＝x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝x3＋1D．F(x)＝x3＋C(C为常数)4．由y＝x2，y＝2x＋8所围成的面积是()A．ʃx2dxB．ʃ(2x＋8)dxC．ʃ(－x2＋2x＋8)dxD．ʃ(x2＋2x＋8)dx5．根据ʃsinxdx＝0推断，由直线x＝0，x＝2π，y＝0和正弦曲线y＝sinx所围成的曲边梯形的面积时，正确的结论为()A．面积为0B．曲边梯形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积C．曲边梯形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积D．曲边梯形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积6．(sinx＋xcosx)dx的值是()A．0B.C．2D．47．曲线y＝sinx(0≤x≤2π)与坐标轴所围成的面积是()A．2B．3C.D．48．若y＝ʃ(sint＋costsint)dt，则y的最大值是()A．1B．2C．－D．09．下列各式错误的是()A．sinφdφ＝1B．cosxdx＝1C．ʃexdx＝－1D．ʃdx＝110．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是()A．1＋eB．eC.D．e－111．变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t＝t1时所在位置为S0，则当t2秒末它所在位置为()A．v(t)dtB．S0＋ʃt2t1v(t)dtC．v(t)dt－S0D．S0－v(t)dt12．已知1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为()A．0.18JB．0.26JC．0.12JD．0.28J二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．化简ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＋…＋ʃf(x)dx＝________.14．(sinx＋cosx)dx＝__________.15．dx＝________.16．抛物线y＝x2与直线x＋y＝2所围成的面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求下列定积分(1)ʃ(2x－x2)dx；(2)2sin2dx.18．(12分)计算定积分ʃ(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.19.(12分)求半径为r的圆的面积．20．(12分)求抛物线y＝x2介于点(0,0)，(2,4)之间的一段弧分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积．21.(12分)求由曲线y＝与直线x＋y＝3所围图形的面积．22．(12分)求上、下底半径分别为r和R，高为h的正圆台的体积．答案1．B[ʃ(x＋1)dx＝|＝.]2．C[因为f(x)＝xsinx是偶函数，所以xsinxdx＝2xsinxdx>0；因为f(x)＝xcosx是奇函数，所以xcosxdx＝0，故选C.]3．B[因为′＝′＝′＝x2，所以A，B，D均正确．]4．C[关键是求出交点坐标，确定积分区间，画出图像，找出被积函数．]5．D6．A[奇函数在对称区间上的定积分为0.]7．D[S＝ʃsinxdx－ʃsinxdx＝(－cosx)|－(－cosx)|＝4.]8．B[y＝ʃ(sint＋costsint)dt＝ʃsintdt＋ʃsin2tdt＝－(cosx＋1)2＋2，所以，当cosx＝－1时，ymax＝2.]9．C[ʃexdx＝ex|＝ee－e.]10．B11．B[物体的位移为定积分v(t)dt，它所在位置为S0＋v(t)dt.]12．A[设F(x)＝kx，当F＝1N时，x＝0.01m，则k＝100，W＝ʃ100xdx＝50x2|＝0.18(J)．]13．ʃf(x)dx解析连续运用定积分的性质：ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx.14．2解析(sinx＋cosx)dx＝－cosx+＝－＋＝2.15.解析根据定积分的几何意义，dx表示x2＋y2＝2(y≥0)与x轴围成的面积，所以dx＝.16.解析由，解得或，所以，所求面积S＝ʃ(－x＋2)dx－ʃx2dx＝.17．解(1)原式＝|＝1－＝.(2)原式＝(1－cosx)dx＝(x－sinx)＝－1.18．解设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝.则ʃ(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝(－4x)dx＋6dx＋4xdx＝－2x2＋6x＋2x2＝45.19．解如图所示，以原点为圆心、以r为半径的圆的方程是x2＋y2＝r2，将这个方程的x≥0，y≥0的部分转化为函数y＝(x≥0，y≥0)，于是圆的面积是S1＝ʃydx，即S1＝ʃdx.令x＝rsint，则dx＝rcostdt，且x＝0，r时，t＝0，，∴S1＝rcost·rcostdt＝(1＋cos2t)dt＝＝πr2，∴圆的面积S＝4S1＝πr2.20．解绕x轴旋转而成的旋转体的体积为V1＝πʃx4dx＝x5|＝π.绕y轴旋转而成的旋转体的体积为V2＝πʃ()2dy＝y2|＝8π.21．解首先，画草图如图所示．其次，由草图知，平面图形可看成是由曲线y＝与直线y＝3－x围成．应选x作积分变量；为确定积分限由可解得x1＝1，x2＝2；积分下限是1，积分上限是2.所以，所求图形的面积为：A＝ʃdx＝|＝－2ln2.22．解建立如图所示的直角坐标系，圆台可以看成是该直角梯形绕y轴旋转一周所形成的旋转体，其母线AB的方程为y＝(x－R)，即x＝y＋R.所以，圆台的体积为：V＝πʃx2dy＝πʃ2dy＝＝(r3－R3)＝(R2＋Rr＋r2)．
