数学理第1页/共13页数学理第2页/共13页数学理第3页/共13页数学理第4页/共13页数学理第5页/共13页数学理第6页/共13页频率组距0.040.060.080.030.050.07数学理2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案数学（理工类）一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B10.D11.A12.A二、填空题13.nn14.15.16.三、解答题17.解：（I），所以数列为等差数列，则；-----------------------------------------------3分，所以，则；-------------------------------------------------------------------6分（II），则两式相减得----------9分整理得.-----------------------------------------------12分18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为，所以总人数为：，由直方图可知，第五组人数为:人，又为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人第7页/共13页zACDPQ数学理---------------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设事件甲同学面试成功，则……………..8分（Ⅲ）由题意得，，,,分布列为0123…………………..12分19.（I） PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又 底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD,又PQ∩BQ=Q∴AD⊥¿¿平面PQB，又 AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥¿¿平面PAD;-----------------------------6分（II） 平面PAD⊥¿¿平面ABCD,平面PAD∩¿¿平面ABCD=AD,PQ⊥AD∴PQ⊥¿¿平面ABCD.∴以Q为坐标原点，分别以QA,QB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图.第8页/共13页数学理则Q(0,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(−2,√3,0),设PM⃗=λPC⃗(0<λ<1),所以M(−2λ,√3λ,√3(1−λ))，平面CBQ的一个法向量是n1=(0,0,1)，设平面MQB的一个法向量为n2=(x,y,z)，所以{QM⃗⋅n2=0¿¿¿¿取n2=(3−3λ2λ,0,√3)，-----------------------------------------9分由二面角M−BQ−C大小为60°，可得：12=|n1⋅n2||n1||n2|，解得λ=13，此时PMPC=13--------------------------------12分20.解：（I）因为点A(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，所以4=2p，有p=2，那么抛物线C:y2=4x---------------------------------------2分若直线l的斜率不存在，直线l:x=5，此时P(5,2√5),Q(5,−2√5),A(1,2)⃗PA⋅⃗QA=(−4,2−2√5)⋅(−4,2+2√5)=0-------------------------------------------3分若直线l的斜率存在，设直线l:y=k(x−5)−2,(k≠0)，点P(x1,y1)，Q(x2,y2){y2=4xy=k(x−5)−2，有ky2−4y−4(5k+2)=0⇒{y1+y2=4k,y1y2=−20k+8kΔ=16+16k(5k+2)>0，---------------5分第9页/共13页数学理⃗PA⋅⃗QA=(1−x1,2−y1)⋅(1−x2,2−y2)=1−(x1+x2)+x1x2+4−2(y1+y2)+y1y2=1−y12+y224+y12y2216+4−2(y1+y2)+y1y2=1−(y1+y2)2−2y1y24+y12y2216+4−2(y1+y2)+y1y2=0那么，⃗PA⋅⃗QA为定值.--------------------------------------------------------------------------7分（II）若直线l的斜率不存在，直线l:x=5，此时P(5,2√5),Q(5,−2√5),A(1,2)SΔAPQ=12×4√5×4=8√5若直线l的斜率存在时，|PQ|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√1+1k2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√1+1k2⋅√80k2+32k+16k2------------------9分点A(1,2)到直线l:y=k(x−5)−2的距离h=4|k+1|√1+k2------------------------------10分SΔAPQ=12⋅|PQ|⋅h=8√(5k2+2k+1)(k+1)2k4，令u=(1k+1)2，有u≥0，则SΔAPQ=8√u2+4u没有最大值.---------------------------------------------------------12分21.解：（Ⅰ）当时，，则，令，则，显然在上单调递减.又因为，故时，总有，所以在上单调递减.---------------------------------------------3分又因为，第10页/共13页数学理所以当时，，从而，这时单调递增，当时，，从而，这时单调递减,当变化时，，的变化情况如下表：１f'(x)+0－f(x)极大所以在上的极大值是.-----------------------------5分（Ⅱ）由题可知，则.根据题意方程有两个不等实数根，，且，所以，即，且.因为，所有.由，其中，可得又因为，，将其代入上式得：，整理得.--------------------------------------------------------8分即不等式对任意恒成...
