课时作业(二十三)抛物线的标准方程一、选择题1.以坐标原点为顶点,直线x=1为准线的抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x2.若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=16x或y=0(x<0)3.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a,则点M的横坐标是()A.a+B.a-C.a+pD.a-p4.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60cm,灯深40cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.11.25cmB.5.625cmC.20cmD.10cm二、填空题5.已知抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离是5,则点P的横坐标是________.6.抛物线x=ay2(a≠0)的焦点坐标为________;准线方程为________.7.若抛物线y2=4x上有一点P到焦点F的距离为5,且点P在直线x+y-3=0的上方,则点P的坐标为________.三、解答题8.根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是5;(2)焦点F在y轴上,点A(m,-2)在抛物线上,且|AF|=3.9.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的一个焦点,且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.[尖子生题库]10.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若点B的坐标为(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.1课时作业(二十三)抛物线的标准方程1.解析:由题意可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),由=1,得p=2,∴抛物线的标准方程为y2=-4x,故选D.答案:D2.解析:∵点F(4,0)在直线x+5=0的右侧,且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,∴点P到F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.故点P的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,p=8,故P点的轨迹方程为y2=16x.答案:C3.解析:设抛物线上点M(x0,y0),如图所示,过M作MN⊥l于N,连MF.根据抛物线定义,|MN|=|MF|=a,∴x0+=a,∴x0=a-,∴选B.答案:B4.解析:如图建立直角坐标系,设抛物线方程是y2=2px(p>0),因为A(40,30)在抛物线上,∴302=2p×40,∴p=,∴光源到反光镜顶点的距离为===5.625cm.答案:B5.解析:由抛物线方程,可知其准线方程为y=-1,所以点P的纵坐标为4,代入抛物线方程可知横坐标为±4.答案:±46.解析:抛物线x=ay2(a≠0)可化为y2=x(a≠0).①当a>0时,=,抛物线开口向右,焦点坐标为,准线方程为x=-.②当a<0时,=-,抛物线开口向左,焦点坐标为,准线方程为x=-.故不论a>0,还是a<0,焦点坐标都是,准线方程都为x=-.答案:x=-7.解析:设P点的坐标为(x,y),由已知得=1,|PF|=x+=5.故x=4,因为点P在直线x+y-3=0的上方.所以点P的坐标为(4,4).答案:(4,4)8.解析:(1)由题意知p=5,则2p=10,因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向,所以四种类型的抛物线都有可能,故方程为y2=10x或y2=-10x或x2=10y或x2=-10y.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).由|AF|=3,得+2=3,所以p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.9.解析:因为交点在第一象限,抛物线的顶点在原点,其准线垂直于x轴,所以可设抛物线方程为y2=2px(p>0).将点代入方程,得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.准线方程为x=-1.由此知双曲线方程中c=1,焦点为(-1,0),(1,0),点到两焦点距离之差2a=1,所以双曲线的标准方程为-=1.10.解析:(1)如图,2易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x=-1.由抛物线的定义知,点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是问题转化为在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF,AF与抛物线的交点即为点P,故最小值为=,即点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为.(2)如图,把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2.因为2>2,所以点B在抛物线内部.过点B作BQ垂直于准线,垂足为点Q,交抛物线于点P1,连接P1F.此时,由抛物线定义知,|P1Q|=|P1F|.所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.3