课时作业(二十三)抛物线的标准方程一、选择题1．以坐标原点为顶点，直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x2．若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)3．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是()A．a＋B．a－C．a＋pD．a－p4．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A．11.25cmB．5.625cmC．20cmD．10cm二、填空题5．已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是________．6．抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为________；准线方程为________．7．若抛物线y2＝4x上有一点P到焦点F的距离为5，且点P在直线x＋y－3＝0的上方，则点P的坐标为________．三、解答题8．根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)焦点到准线的距离是5；(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.9．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．[尖子生题库]10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．1课时作业(二十三)抛物线的标准方程1．解析：由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，由＝1，得p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x，故选D.答案：D2．解析：∵点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到F(4,0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.答案：C3．解析：设抛物线上点M(x0，y0)，如图所示，过M作MN⊥l于N，连MF.根据抛物线定义，|MN|＝|MF|＝a，∴x0＋＝a，∴x0＝a－，∴选B.答案：B4．解析：如图建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)，因为A(40,30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝，∴光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625cm.答案：B5．解析：由抛物线方程，可知其准线方程为y＝－1，所以点P的纵坐标为4，代入抛物线方程可知横坐标为±4.答案：±46．解析：抛物线x＝ay2(a≠0)可化为y2＝x(a≠0)．①当a>0时，＝，抛物线开口向右，焦点坐标为，准线方程为x＝－.②当a<0时，＝－，抛物线开口向左，焦点坐标为，准线方程为x＝－.故不论a>0，还是a<0，焦点坐标都是，准线方程都为x＝－.答案：x＝－7．解析：设P点的坐标为(x，y)，由已知得＝1，|PF|＝x＋＝5.故x＝4，因为点P在直线x＋y－3＝0的上方．所以点P的坐标为(4,4)．答案：(4,4)8．解析：(1)由题意知p＝5，则2p＝10，因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故方程为y2＝10x或y2＝－10x或x2＝10y或x2＝－10y.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由|AF|＝3，得＋2＝3，所以p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.9．解析：因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．将点代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为－＝1.10．解析：(1)如图，2易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.因为2＞2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.3
