“空间向量”双基过关检测一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为，则m的值为()A．－9或1B．9或－1C．5或－5D．2或3解析：选B由题意|PP1|＝，即＝，∴(m－4)2＝25，解得m＝9或m＝－1.故选B.2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2解析：选A∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或3．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝()A．9B．－9C．－3D．3解析：选B由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.4．(2017·揭阳期末)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)解析：选B由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．5．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析：选B如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.6.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c解析：选ABM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.7.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C．1D.解析：选D∵BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，故|BD|＝.8．(2017·东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B.C．－D．±解析：选C因为OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，所以cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－.二、填空题9．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若AP＝2PB，则|PD|的值是________．解析：设P(x，y，z)，∴AP＝(x－1，y－2，z－1)．PB＝(－1－x,3－y,4－z)，由AP＝2PB得点P坐标为，又D(1,1,1)，∴|PD|＝.答案：10.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________.解析：OC＝AC＝(AB＋AD)，∴OC1＝OC＋OC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.答案：AB＋AD＋AA111.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件，得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案：012．(2017·北京西城模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC·AP的取值范围是________．解析：由题意，设BP＝λBD1，其中λ∈[0,1]，DC·AP＝AB·＝AB·(AB＋λBD1)＝AB2＋λAB·BD1＝AB2＋λAB·(AD1－AB)＝(1－λ)AB2＝1－λ∈[0,1]．因此DC·AP的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]三、解答题13．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1⊥BD.解：(1)如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.∵AC1＝AC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c，∴|AC1|＝|a＋b＋c|＝＝＝＝.∴线段AC1的长为.(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ.则cosθ＝|cos〈AC1，A1D〉|＝.∵AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c，∴AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，|A1D|＝＝＝＝.∴cosθ＝＝＝.故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.(3)证明：∵AA1＝c，BD＝b－a，∴AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0.∴AA1⊥BD，∴AA1⊥BD.14.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值．解：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝＝＝，故sin〈n，m〉＝.∴二面角DA1CE的正弦值为.
