2.1函数2.1.1函数(一)【课标要求】1.理解函数的概念,明确函数的三要素,即定义域、值域和对应法则.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域.【核心扫描】1.理解函数的概念,对符号y=f(x)含义的理解.(难点)2.求简单函数的定义域.(重点)自学导引1.函数(1)函数的定义:设集合A是一个非空的数集,对A中的,按照确定的法规f,都有与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作.任意数x唯一确定的数y=f(x),x∈A(2)函数的定义域:在函数y=f(x),x∈A中,叫做自变量,取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.x自变量{y|y=f(x),x∈A}(3)函数的值域:所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域.试一试:一次函数y=kx+b(k≠0)的定义域和值域分别是什么?二次函数y=ax2+bx+c(a>0)呢?提示一次函数y=kx+b(k≠0)的定义域是R,值域是R;二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的定义域是R,值域为{y|y≥4ac-b24a,a>0}.2.区间设a,b∈R,且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b][a,b](a,b)3.无穷区间的表示定义{x|x≥a}{x|x>a}{x|x<a}{x|x≤a}R符号[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a)(-∞,a](-∞,∞)想一想:数集都能用区间表示吗?提示区间表示的是连续的数集,如{x|x=2n,n∈Z}就不能用区间表示,因为这个数集中有一些不连续的数.名师点睛1.函数的概念理解函数的定义应注意以下三点:(1)由函数的定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:①定义域和对应关系是否给出;②根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值y与之对.(2)符号“y=f(x)”指的是“y是x的函数”,它仅仅是抽象的、简洁的函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,y=f(x)是指对于定义域A中的任意x,在对应关系f的作用下,在值域C中有唯一的y与之对应,f(x)不一定是解析式,也可以是函数的其他表示形式.(3)要注意符号“f(a)”与“f(x)”的区别与联系,f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值,它是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,在一般情况(非常数函数)下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.2.函数的两个要素(1)定义域:函数的定义域就是指能使这个式子各部分都有意义的所有实数x的集合.在实际问题中,还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许取值范围.函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程(组)来求解,定义域必须用集合或区间表示.(2)对应法则:对应法则f是表示定义域和值域的一种对应关系,与所选择的字母无关.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等符号来表示.变量也不是用唯一的字母来表示,f(x)=x+1与f(t)=t+1是同一个函数.题型一函数的概念【例1】下列各组式子是否表示同一函数,为什么?(1)f(x)=|x|,φ(t)=t2;(2)y=x2,y=(x)2;(3)y=x-1·x+1,y=x2-1;(4)y=1+x·1-x,y=1-x2.[思路探索]只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一函数.解对于(1)在公共定义域R上,f(x)=|x|和φ(t)=t2的对应法则完全相同,表示同一函数.(2)中两函数的定义域分别为R和[0,+∞),故不为同一函数.(3)中的定义域分别为[1,+∞)与(-∞,-1]∪[1,+∞),故不表示同一函数.(4)在公共定义域[-1,1]上,表示相同函数.规律方法判断两个函数是否表示同一个函数,要看函数的三要素是否对应相同,由于值域因定义域和对应关系而定,所以只需判断定义域和对应法则即可.【训练1】下列各组函数表示同一函数的是().A.y=x2-9x-3与y=x+3B.y=x2-1与y=x-1C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z解析答案A中的两函数定义域不同,答案B中的两函数值对应法则不同,答案D中的两函数对应法则不同.答案C正确.答案C题型二函数的定义域【例2】求下列函数的定义域:(1)f(x)=x-1;(2)f(x)=1x+1;(3)y=x+10|x|-x.[思路探索]函数的定义域,即使函数有意义的自变量x的取值范围.解(1)要使函数f(x)=x-1有意义,必须x-1≥0,即x...