9/7自学专题二函数不等式数列极限数学归纳法一能力培养1,归纳猜想证明2,转化能力3,运算能力4,反思能力二问题探讨问题1数列{na}满足112a,212nnaaana,(nN).(I)则{na}的通项公式na=;(II)则1100nna的最小值为;(III)设函数()fn是1100nna与n的最大者,则()fn的最小值为.问题2已知定义在R上的函数()fx和数列{na}满足下列条件:1aa,1()nnafa(n=2,3,4,),21aa,1()()nnfafa=1()nnkaa(n=2,3,4,),其中a为常数,k为非零常数.(I)令1nnnbaa(nN),证明数列{}nb是等比数列;(II)求数列{na}的通项公式;(III)当1k时,求limnna.问题3已知两点M(1,0),N(1,0),且点P使MPMN,PMPN,NMNP成公差小于零的等差数列.(I)点P的轨迹是什么曲线?(II)若点P坐标为00(,)xy,记为PM与PN的夹角,求tan.三习题探讨选择题1数列{}na的通项公式2nankn,若此数列满足1nnaa(nN),则k的取值范围是A,2kB,2kC,3kD,3k2等差数列{}na,{}nb的前n项和分别为nS,nT,若231nnSnTn,则nnab=A,23B,2131nnC,2131nnD,2134nn3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是A,15(0,)2B,51(,1]2C,15[1,)2D,5115(,)2210/74在等差数列{}na中,1125a,第10项开始比1大,记21lim()nnnaStn,则t的取值范围是A,475tB,837525tC,437550tD,437550t5设A11(,)xy,B22(,)xy,C33(,)xy是椭圆22221xyab(0ab)上三个点,F为焦点,若,,AFBFCF成等差数列,则有A,2132xxxB,2132yyyC,213211xxxD,2213xxx6在ABC中,tanA是以4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A,钝角三角形B,锐角三角形C,等腰直角三角形D,以上都不对填空7等差数列{}na前n(6n)项和324nS,且前6项和为36,后6项和为180,则n.8223323232323236666nnnnS,则limnnS.9在等比数列{}na中,121lim()15nnaaa,则1a的取值范围是.10一个数列{}na,当n为奇数时,51nan;当n为偶数时,22nna.则这个数列的前2m项之和2mS.11等差数列{}na中,nS是它的前n项和且67SS,78SS,则①此数列的公差0d,②96SS,③7a是各项中最大的一项,④7S一定是nS中的最大项,其中正确的是.解答题12已知23123()nnfxaxaxaxax,且123,,naaaa组成等差数列(n为正偶数).又2(1)fn,(1)fn,(I)求数列的通项na;(II)试比较1()2f与3的大小,并说明理由.13已知函数2()31fxxbx是偶函数,()5gxxc是奇函数,正数数列{}na满足11a,211()()1nnnnnfaagaaa.(I)若{}na前n项的和为nS,则limnnS=;(II)若12()()nnnbfaga,求nb中的项的最大值和最小值.11/714设函数()fx的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数1x,2x,都有12()()fxfx12xx,且存在0x,使得00()fxx,数列{}na中,10ax,1()2()nnnfaaanN,求证:对于任意的自然数n,有:(I)0nax;(II)1nnax.参考答案:问题1解:(I)212nnaaana,得nS=2nna当2n时,1nnnaSS=2nna21(1)nna,有221(1)(1)nnnana,即111nnanan.于是3241123112313451nnnaaaaanaaaaan=2(1)nn.又112a,得na=1(1)nn.由于1a也适合该式,故na=1(1)nn.(II)1100nna=299nn=2(49.5)2450.25n所以当49n或50时,1100nna有最小值2450.(III)因()fn是1100nna与n的最大者,有(1100)()1100(100)nnnfnnna,有min()fn=(1)f=1.问题2(I)证明:由1210baa,得2322121()()()0baafafakaa.由数学归纳法可证10nnnbaa(nN).而,当2n时,1111111()()()nnnnnnnnnnnnnnbaafafakaakbaaaaaa因此,数列{}nb是一个公比为k的等比数列.(II)解:由(I)知,11121()()nnnbkbkaanN当1k时,112211()(2)1nnkbbbaank12/7当1k时,12nbbb21(1)()naa(2n)而12213211()()()(2)nnnnbbbaaaaaaaan,有当1k时,1naa=1211()(2)1nkaank;当1k时,1naa=21(1)()naa(2)n.以上两式对1n时也成立,于是当1k时,11211()1nnkaaaak=11(())1nkafaak当1k时,121(1)()naanaa=(1)(())anfaa.(III)解:当1k时,11()limlim[(())]11nnnnkfaaaafaaakk.问题3解:(I)设点P(,xy),由M(1,0),N(1,0)得(1,)PMMPxy,(1,)PNNPxy,(2,0)MNNM有2(1)MPMNx,221PMPNxy,2(1)NMNPx.于是MPMN,PMPN,NMNP成公差小于零的等差数列等价于2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0xyxxxx,即2230xyx所以点P的轨迹是以原点为圆心,3为半径的右半圆C.(II)设P(00,xy),则由点P在半圆C上知,22001PMPNxy又22220000(1)(1)PMPNxyxy=00(42)(42)xx=2024x,得201cos4PMPNPMPNx,又001x,20142x,有1cos12,03,...
