课时限时检测(二)命题及其关系、充分条件与必要条件(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【答案】B2．(2014·广州市培正中学模拟)“a＝1”是“(a－1)(a－2)＝0”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A3．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④【答案】C4．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A5．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”是“0≤a≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A6．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5【答案】A二、填空题(每小题共5分，共15分)7．命题“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．【答案】28．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.【答案】3或49．若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．【答案】[3，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．【解】(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题，证明如下：∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，因此f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．(12分)设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0.且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．【解】依题意，得A＝{x|x2－x－2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B＝＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．设集合C＝{x|2x＋p≤0}，则x∈.∵α是β的充分条件，∴(A∩B)⊆C.则需满足3≤－⇒p≤－6.∴实数p的取值范围是(－∞，－6]．12．(13分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.【证明】必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.充分性：若a＋b＋c＝0，则b＝－a－c，∴ax2＋bx＋c＝0可化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，∴(ax－c)(x－1)＝0，∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
