章末综合测评(三)导数及其应用(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)1.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，质点的平均速度等于________.【解析】平均速度为＝＝6＋Δt.【答案】6＋Δt2.若f′(x0)＝－3，则当h→0时，趋于常数________.【解析】＝4×. f′(x0)＝－3，∴当h→0时，趋于－3，故当h→0时，趋于－12.【答案】123.(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________.【解析】f′(x)＝a＝a(1＋lnx).由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.【答案】34.已知曲线f(x)＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是________.【解析】 f′(x)＝2x＋2，由f′(x)＝0得x＝－1，又f(－1)＝1－2－2＝－3，∴点M的坐标为(－1，－3).【答案】(－1，－3)5.函数y＝xex在其极值点处的切线方程为__________.【解析】由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.【答案】y＝－6.下列结论①(sinx)′＝－cosx；②′＝；③(log3x)′＝；④(x2)′＝；⑤′＝，其中正确的有________(填序号).【解析】由于(sinx)′＝cosx，故①错误；由于′＝－，故②错误；由于(log3x)′＝，故③错误；由于x2＝2x，故④错误；由于′＝－＝，所以⑤正确.【答案】⑤7.函数y＝xsinx＋cosx在(π，3π)内的单调增区间是________.【解析】 y＝xsinx＋cosx，∴y′＝xcosx，令y′＝xcosx＞0，且x∈(π，3π)，∴cosx＞0，且x∈(π，3π)，∴x∈，∴函数y＝xsinx＋cosx在(π，3π)内的单调增区间是.【答案】8.(2016·徐州高二检测)函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为________.【解析】f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)故上单调递增.∴f(x)的最大值在x＝处取得，f＝e，f(x)的最小值在x＝0处取得，f(0)＝.∴函数值域为.【答案】9.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________.【解析】由题意可知f′(x)＝－x＋＜0，在x∈(－1，＋∞)上恒成立，即b＜x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立，由于y＝x(x＋2)在(－1，＋∞)上是增函数1且y(－1)＝－1，所以b≤－1.【答案】(－∞，－1]10.如图1，是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法：①f(x)在(－2，－1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点.以上说法正确的序号是________(填序号).图1【解析】由函数的图象可知：f′(－2)＜0，f′(－1)＝0，f(x)在(－2，－1)上是减函数，①不正确；x＝－1时f′(1)＝0，函数在(－3，－1)递减，在(－1,2)单调递增，所以x＝－1是f(x)的极小值点，所以②正确；f(x)在(－1,2)上f′(x)＞0，所以函数在(－1,2)上是增函数，所以③正确；函数在(－1,2)单调递增，在(2,4)单调递减，所以x＝2是f(x)的极大值点，所以④不正确.【答案】②，③11.已知f(x)＝x3－3x2＋2x＋a，若f(x)在R上的极值点分别为m，n，则m＋n的值为________.【解析】 f(x)＝x3－3x2＋2x＋a，∴f′(x)＝3x2－6x＋2， f(x)在R上的极值点分别为m，n，则m，n为f′(x)＝0的两个根，根据韦达定理可得，m＋n＝－＝2，∴m＋n的值为2.【答案】212.若a＞2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有________个零点.【解析】 f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a，又a＞2，∴2a＞4.当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，又f(0)＝1，f(2)＝－4a＋1＝－4a，由a＞2知f(2)＜0，∴函数f(x)在(0,2)上只有1个零点.【答案】113.(2016·郴州高二检测)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则f(0)＋f(2)与2f(1)的大小关系为________.【解析】依题意，当x≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x＜1时，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故当x＝1时，f(x)取得极小值也为最小值，即有f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，∴f(0)＋f(2)≥2f(1).【答案】f(0)＋f(2...
