课时限时检测(五十三)直线与圆锥曲线的位置关系(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0【答案】B2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C3．已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.∪C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－)∪(，＋∞)【答案】D4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16【答案】B5．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是()A．3x＋4y－13＝0B．4x＋3y－13＝0C．3x－4y＋5＝0D．3x＋4y＋5＝0【答案】A6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.C.D.【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为．图8－9－2【答案】68．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为．【答案】－29．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为．【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解】(1)由题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且左焦点为F′(－2,0)，椭圆C过点A(2,3)．则|AF|＝＝3，|AF′|＝＝5.从而有解得又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.∵直线l与椭圆C有公共点，∴Δ＝(3t)2－12(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.又由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，∴t＝±2.∵±2∉[－4，4]，∴符合题意的直线l不存在．11．(12分)(2013·陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．【解】(1)如图①，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，图①由此得|4－x|＝2，化简得＋＝1，∴动点M的轨迹C的方程为＋＝1.(2)法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图②图②将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0.其中Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，①x1x2＝.②又A是PB的中点，故x2＝2x1.③将③代入①②，得x1＝－，x＝，可得2＝，且k2>，解得k＝－或k＝，∴直线m的斜率为－或.法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图②.∵A是PB的中点，∴x1＝，①y1＝，②又＋＝1，③＋＝1，④联立①②③④，解得或即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，∴直线m的斜率为－或.12．(13分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(1,1)，离心率e＝，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l是圆O：x2＋y2＝1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：OA·OB为定值．【解】(1)因为e＝＝，∴a2＝3b2，∴椭圆C的方程为＋＝1.又∵椭圆C过点M(1,1)，代入方程解得a2＝4，b2＝，∴椭圆C的方程为＋＝1(2)①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，则圆心O到直线l的距离d＝＝1，∴1＋k2＝m2将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到关于x的方程为(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－4＝0设直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝＝0，②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得OA·OB＝0.综合上述可得，OA·OB为定值0.
