课时限时检测(二十五)平面向量的基本概念及线性运算(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若a＋c与b都是非零向量，则“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A2．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b【答案】B3．如图4－1－1，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()图4－1－1A．0B.BEC.ADD.CF【答案】D4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a⊥b【答案】A5．设a，b是两个非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C6．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图4－1－2所示，向量a－b＝(用e1，e2表示)．图4－1－2【答案】e1－3e28．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是．【答案】[3,13]9．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λa＋μb＝0；③xa＋yb＝0(实数x，y满足x＋y＝0)．【答案】①②三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A、B、C三点共线．(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．(3)若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A、C、D三点共线，求k的值．【解】(1)证明AB＝OB－OA＝a＋2b，AC＝OC－OA＝－a－2b.所以AC＝－AB，又因为A为公共点，所以A、B、C三点共线．(2)设8a＋kb＝λ(ka＋2b)，则⇒或所以实数k的值为±4.(3)AC＝AB＋BC＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因为A、C、D三点共线，所以AC与CD共线．从而存在实数λ使AC＝λCD，即3a－2b＝λ(2a－kb)，得解得λ＝，k＝，所以k＝.11．(12分)如图4－1－3所示，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，求实数m的值．图4－1－3【解】如题图所示，AP＝AB＋BP，∵P为BN上一点，则BP＝kBN，∴AP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)又AN＝NC，即AN＝AC，因此AP＝(1－k)AB＋AC，所以1－k＝m，且＝，解得k＝，则m＝1－k＝.12．(13分)设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．【解】如图，记AM＝，AN＝，则AM，AN都是单位向量，∴|AM|＝|AN|，AQ＝AM＋AN，则四边形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC，∵OP＝OA＋AP，由条件知OP＝OA＋λAQ，∴AP＝λAQ(λ∈[0，＋∞))，∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．
