第四章复数的概念与运算目标要求1了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义2掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算3了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想知识导学1虚数单位:(1)它的平方等于-1，即;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－3的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=14复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式4复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数05复数集与其它数集之间的关系：NZQRC6两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小也只有当两个复数全是实数时才能比较大小7复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i9复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i10复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z111复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)用心爱心专心1bZ(a，b)aoyx12．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数13乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z314除法运算规则：15*共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数z=a+bi和=a－bi(a、b∈R)互为共轭复数16复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量17复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应18．复数的模：例题导学例1计算解：例2计算解：例3在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：可用直推法， 用心爱心专心2∴且且∴m∈(3,4)故选D课内探究：1、已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：设z=x+yi(x、y∈R)，∴z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=－2==(x－2i)(2+i)=(2x+2)+(x－4)i由题意得x=4，∴z=4－2i (z+ai)2=(12+4a－a2)+8(a－2)i，根据条件，已知解得2＜a＜6，∴实数a的取值范围是(2，6)2、设a∈R,z∈C,满足(z2─a2)/(z2+a2)是纯虚数，求x,y应满足的条件解：设(z2─a2)/(z2+a2)=ki(k∈R,k≠0)则z2─a2=ki(z2+a2)z2(1─ki)=a2(1+ki),∴(x2─y2+2xyi)(1─ki)=a2+a2ki,消去参数k即得：x2+y2=a2,点评：(1)纯虚数的概念;(2)虚部的概念;(3)化复数问题为实数问题的化归思想(设z=a+bi(a,b∈R));(4)若两个复数能比较大小，则它们都是实数(5)实...
