高二数学空间中的距离【本讲主要内容】空间中的距离两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线与平面的距离、两个平行平面的距离【知识掌握】【知识点精析】在这四类距离中，后三类是研究的重点，并且以点到平面的距离为核心。这是因为直线和平面的距离、两个平行平面的距离最终都要转化为点到平面的距离来解决。即使是两条异面直线的距离也往往是转化为一条直线上的某一点到另外一条直线所在的且与此直线平行的平面间的距离，或者是转化为两条异面直线所在的两个平行平面间的距离。求点到平面的距离一般经常使用以下方法：1、直接法所谓直接法，就是先作出垂线段然后再计算的方法。基本操作步骤也是“作—证—指—算”四步。使用这种方法时，作图这一步比较容易，但能否计算或者是否便于计算却不一定。特别是如果垂足的位置不能确定，那么这种方法往往行不通。这时就需要另寻其它方法。2、等体积法构造一个三棱锥。所求的点到平面的距离为三棱锥的高，设为h，与之相对应的底面面积可求，此三棱锥的另一组底面面积及高也可求，便可以利用体积相等，得到一个关于h的方程。通过解方程就可以计算出点到平面的距离。【解题方法指导】例1.如图，已知正四棱柱，点E在棱上，截面EAC//，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a，求异面直线与AC之间的距离。解：连结DB交AC于O，连结EO 底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC又 ED⊥底面ABCD，∴EO⊥AC∴∠EOD是面EAC与底面ABCD所成二面角的平面角∴∠EOD=45°， //面EAC，且面面EAC=EO∴用心爱心专心 O是BD中点，∴E是中点由题设面ABCD，，又是异面直线与AC的公垂线段∴异面直线与AC之间的距离为。点评：此题主要考查正四棱柱的概念、性质、空间线面关系及二面角的概念、解法、距离的概念，考查逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力。例2.将等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱折成一个60°的二面角，使B到的位置，已知斜边AB=2，求（1）顶点C到平面的距离；（2）顶点A到平面的距离。思路：先找或证明表示距离的线段，然后在平面图形中处理问题。解：（1）CD⊥AD，CD⊥BD，∴CD⊥平面∴CD为点C到平面的距离，CD=1，∴距离为1。（2）过A作于E，∴CD⊥平面，∴平面⊥面∴AE⊥平面，∴AE为点A到平面的距离，用心爱心专心点评：在求距离时必须注意翻折前后的变化的部分。例3.斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，，求侧棱与侧面的距离。思路：求与平面的距离，只要求B点与平面的距离，又侧面⊥底面ABC，这就具备了用定义法直接解出垂线的条件。解：作BF⊥AC于F，由于平面面ABC∴BF⊥面， 平面，∴BF为与面的距离在Rt△ABC中，用心爱心专心点评：线面距离转化为点到平面的距离。【考点突破】【考点指要】空间中的距离求法是教材的重要内容，也是历年高考考查的重点，其中以点到点，点到线，点到面的距离为基础，求其他几种距离一般应化归为求这三种距离。【典型例题分析】例1.如图，在正三棱柱中，若AB=2，，则点A到平面的距离为（）A.B.C.D.剖析：思路一，过点A作一平面与平面垂直，再过点A作它们的交线的垂线即可；思路二，可用等体积法。解法一：取BC中点E，连结，则AE⊥BC，∴BC⊥平面∴平面平面过A作于M∴AM⊥平面 AB=2，，故选B。用心爱心专心解法二：设点A到平面的距离为h AB=2，，设A1到BC的距离为a，则由得解得例2.如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为（）A.B.C.D.剖析：思路一：可过点O作MN//，（即平面的平行线）交于M，则M点到平面的距离等于所求距离。思路二：解法一：过O作MN//交于M，交于N则MN//平面 平面，ME//B1F∴ME⊥平面∴ME即为O到的距离用心爱心专心，故选B。解法二：等体积法：由容易解得O到平面的距离为。【综合测试】一、选择题：1.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则P到对角线BD的距离是（）A.B.C.D.2.已知正四面体ABCD的棱长为l，P、Q分别是AB、CD上的点，则|PQ|的最小值为（）A.lB.lC.lD.l3.已知二面角α—l—β为60°，如果平面α内一点A到平面β的距离为，那么A在β内的射影到平面α的距离为（）A.1B.C.D.24.将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线B...
