4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质(六)VIP免费

黄冈中学网校达州分校4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质（六）2025年1月28日黄冈中学网校达州分校教学目标：1.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；2.掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.教学重点：三角函数最值问题的解题方法教学难点：三角函数最值问题的解题方法黄冈中学网校达州分校1。值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y=sinx,xR∈①当且仅当x＝＋2kπ，kZ∈时，取得最大值1.②当且仅当x＝－＋2kπ，kZ∈时，取得最小值－1.而余弦函数y＝cosx，xR∈①当且仅当x＝2kπ，kZ∈时，取得最大值1.②当且仅当x＝(2k＋1)π，kZ∈时，取得最小值－1.黄冈中学网校达州分校2。单调性正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(kZ)∈上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(kZ)∈上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(kZ)∈上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(kZ)∈上都是减函数，其值从1减小到－1.22223黄冈中学网校达州分校例1求函数y=(sinx)2+2sinxcosx+3(cosx)2的最小值。解:y=sin2x++22cos1x2)2cos1(3x=sin2x+cos2x+2=sin(2x+)+2,42其中1,)42sin(x当sin(2x+)=-1时,ymin=2-24一、利用三角函数的有界性二、例题解析：黄冈中学网校达州分校例2a、b是不相等的正数.求2222cossinsincosyaxbxaxbx的最大值和最小值.解：y是正值，故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小).·xbxa22sincosxbxa22cossin＋asin2x＋bcos2xy2＝acos2x＋bsin2x＋2＝a＋b＋xbaab2sin)(422 a≠b，(a－b)2＞0，0≤sin22x≤122k)(2ba∴当sin2x＝±1时即x＝(kZ)∈时，y有最大值2kab当sin2x＝0时，即x＝(kZ)∈时，y有最小值.黄冈中学网校达州分校方法总结：通过三角变换把形如asinx+bcosx的函数等价化归为y=Asin(x+)，然后根据三角函数的有界性，求出函数的最值。同时注意角的取值范围。黄冈中学网校达州分校二、利用三角函数的增减性例3在0≤x≤条件下，求y＝cos2x－sinxcosx－3sin2x的最大值和最小值.2解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有22cos1x22cos1xy＝－2sin2x－3·244＝2(cos2x－sin2x)－1＝2(cos2xcos－sin2xsin)－14cos(2x＋)－12＝2,2 0≤x≤4454≤2x＋483cos(2x＋)在［0，）上是减函数2283故当x＝0时有最大值当x＝时有最小值－1黄冈中学网校达州分校43,82cos(2x＋)在［］上是增函数综上所述，当x＝0时，ymax＝183222时，有最小值－1，当x＝时，有最大值－故当x＝2时，ymin＝－2-183当x＝黄冈中学网校达州分校例4.求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值和最小值(0