第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数[A级基础巩固]一、选择题1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞)D．(－3，1)解析：求导函数得y′＝(－x2－2x＋3)ex.令y′＝(－x2－2x＋3)ex>0，可得x2＋2x－3<0，所以－30)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数．故选B.答案：B4．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：由f′(x)图象可知函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，在(c，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，又a，b，c∈(－∞，c)，且af(b)>f(a)．答案：C5．已知函数f(x)＝x－sinx，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0的解集是()1A.B.C．(－∞，3)D．(3，＋∞)解析：因为f(x)＝x－sinx，所以f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f′(x)＝1－cosx≥0，则函数f(x)是增函数，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0等价为f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得x<3，故不等式的解集为(－∞，3)．答案：C二、填空题6．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(1＋x)的单调递减区间是________．解析：令f′(x)＝x2－4x＋3<0，得10，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)若a>0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．B级能力提升1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()AB2CD解析：由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.答案：D2．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是____．解析：因为f(x)＝2x＋x3－2，0＜x＜1，所以f′(x)＝2xln2＋3x2＞0在(0，1)上恒成立，所以f(x)在(0，1)上单调递增．又f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，f(0)f(1)＜0，则f(x)在(0，1)内至少有一个零点，又函数f(x)在(0，1)上单调递增，故函数f(x)在(0，1)内有且仅有1个零点．答案：13．已知f(x)＝aex－x－1.(1)求f(x)的单调区间．(2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为f′(x)＝aex－1，当a≤0时，有f′(x)<0在R上恒成立；当a>0时，令f′(x)≥0，得ex≥，有x≥－lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，当a>0时，f(x)的单调递增区间是[－lna，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－lna]．(2)f′(x)＝aex－1.若f(x)在(－∞，0]上单调递减，则aex－1≤0在(－∞，0]上恒成立，即a≤，而当x∈(－∞，0]时，≥1，所以a≤1；若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以aex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立．即a≥，而当x∈[0，＋∞)时，≤1，所以a≥1.综上可得a＝1，故存在a＝1满足条件.3
