课时限时检测(二十二)简单的三角恒等变换(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有()A．a＞b＞cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD.a＜c＜b【答案】D2．已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f等于()A.B．－C.D．－【答案】B3．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝()A.B.C.D．【答案】D4．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()A.B.C．±D．【答案】D5．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为()A.B.C.D.－1【答案】B6．若sin(π－α)＝－，且α∈，则sin＝()A．－B.－C.D．【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数f(x)＝sin2的最小正周期是________．【答案】8．已知α是第三象限角，且sinα＝－，则tan＝________.【答案】－9．(2013·课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.【答案】－三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)化简：(1)·.(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β.【解】(1)原式＝·＝·＝·＝2.(2)法一：(从“角”入手，复角化单角)：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.法二(从“名”入手，异名化同名)：原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos2αcos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos2αcos2β＝cos2β－cos2β＝－cos2β＝.法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)：原式＝·＋·－cos2α·cos2β＝(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－cos2α·cos2β＝＋＝.法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)：原式＝(sinαsinβ－cosαcosβ)2＋2sinαsinβ·cosαcosβ－cos2αcos2β＝cos2(α＋β)＋sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.11．(12分)(2013·北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．【解】(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝，故α＝.12．(13分)已知函数f(x)＝sinx＋cosx.(1)若f(x)＝2f(－x)，求的值；(2)求函数F(x)＝f(x)f(－x)＋f2(x)的最大值和单调递增区间．【解】(1)∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f(－x)＝cosx－sinx.又∵f(x)＝2f(－x)，∴sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)且cosx≠0，得tanx＝.∴＝＝＝.(2)由题知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx，∴F(x)＝cos2x＋sin2x＋1，∴F(x)＝sin＋1.∴当sin＝1时，F(x)max＝＋1.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ解得，函数F(x)的单调递增区间为(k∈Z.)
