课时限时检测(二十二)简单的三角恒等变换(时间:60分钟满分:80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.设a=cos6°-sin6°,b=2sin13°cos13°,c=,则有()A.a>b>cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b【答案】D2.已知函数f(x)=cos2-cos2,则f等于()A.B.-C.D.-【答案】B3.若θ∈,sin2θ=,则sinθ=()A.B.C.D.【答案】D4.若sin76°=m,用含m的式子表示cos7°为()A.B.C.±D.【答案】D5.已知cos2θ=,则sin4θ+cos4θ的值为()A.B.C.D.-1【答案】B6.若sin(π-α)=-,且α∈,则sin=()A.-B.-C.D.【答案】B二、填空题(每小题5分,共15分)7.函数f(x)=sin2的最小正周期是________.【答案】8.已知α是第三象限角,且sinα=-,则tan=________.【答案】-9.(2013·课标全国卷Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=________.【答案】-三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.(10分)化简:(1)·.(2)sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β.【解】(1)原式=·=·=·=2.(2)法一:(从“角”入手,复角化单角):原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(2cos2α-1)(2cos2β-1)=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1)=sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β-=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β-=sin2β+cos2β-=1-=.法二(从“名”入手,异名化同名):原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β-cos2αcos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-cos2αcos2β=cos2β-cos2β=-cos2β=.法三(从“幂”入手,利用降幂公式先降次):原式=·+·-cos2α·cos2β=(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-cos2α·cos2β=+=.法四(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方):原式=(sinαsinβ-cosαcosβ)2+2sinαsinβ·cosαcosβ-cos2αcos2β=cos2(α+β)+sin2α·sin2β-cos2α·cos2β=cos2(α+β)-cos(2α+2β)=cos2(α+β)-[2cos2(α+β)-1]=.11.(12分)(2013·北京高考)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若α∈,且f(α)=,求α的值.【解】(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x=cos2xsin2x+cos4x=(sin4x+cos4x)=sin,所以f(x)的最小正周期为,最大值为.(2)因为f(α)=,所以sin=1.因为α∈,所以4α+∈.所以4α+=,故α=.12.(13分)已知函数f(x)=sinx+cosx.(1)若f(x)=2f(-x),求的值;(2)求函数F(x)=f(x)f(-x)+f2(x)的最大值和单调递增区间.【解】(1)∵f(x)=sinx+cosx,∴f(-x)=cosx-sinx.又∵f(x)=2f(-x),∴sinx+cosx=2(cosx-sinx)且cosx≠0,得tanx=.∴===.(2)由题知F(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx,∴F(x)=cos2x+sin2x+1,∴F(x)=sin+1.∴当sin=1时,F(x)max=+1.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ解得,函数F(x)的单调递增区间为(k∈Z.)